Дан треугольник ABC. Плоскость, параллельная прямой AB, пересекает сторону AC этого треугольника в точке A1, а сторону BC в точке B1.
Найдите длину отрезка A1B1, если AB = 15 см, а AA1: AC = 2: 3.
Плоскость треугольника АВС пересекается с плоскостью. параллельной по условию стороне АВ.
Если прямая параллельна плоскости и содержится в другой плоскости, пересекающей первую, то она параллельна линии пересечения этих плоскостей.
Отрезок А1В1- часть линии пересечения данной плоскости и плоскости треугольника АВС. Следовательно, А1В1 || АВ.
АС и ВС - секущие при параллельных прямых, отсюда
треугольники А1СВ1 и АСВ - подобны.
Из их подобия следует отношение
А1В1:АВ=2:3
А1В1:15=2:3
3 А1В1=30
А1В1=10 см
На території Черкащини розташовано чимало об’єктів природно-заповідного фонду загальнодержавного значення, які містять водно-болотні угіддя. Найбільші — Канівський природний заповідник площею 8,7 тисячі гектарів, національний природний парк «Нижньосульський» площею 7,8 тисячі гектарів, ландшафтний заказник «Сулинський» площею 7,8 тисячі гектарів.
На водно-болотних угіддях науковці виявили об’єкти рослинного і тваринного світу, що підлягають охороні на національному й міжнародному рівнях, деякі вписано у Червону книгу України.
Один із найефективніших засобів збереження цінних природних комплексів водно-болотних угідь — виведення земель із господарського використання шляхом створення на них об’єктів природно-заповідного фонду. Актуалізуючи програму охорони навколишнього природного середовища, яку розробили на Черкащині в межах стратегії розвитку регіону, органи місцевої влади разом з активістами збереження здорового довкілля працюють над розширенням заповідних територій.
Область поставила за мету досягти середнього показника заповідності 9%. За останні три роки створено 28 заповідних об’єктів місцевого значення. Загальна площа об’єктів природно-заповідного фонду збільшилася на 1,5 тисячі гектарів.
В обласну програму охорони навколишнього середовища недавно внесено ще 38 перспективних для заповідання об’єктів.
Як зазначила начальниця управління екології та природних ресурсів облдержадміністрації Олена Звягінцева, реалізація на практиці принципів охорони і збереження водно-болотних угідь можлива лише за умови значних зусиль усіх державних і недержавних відомств та організацій на всіх рівнях — від місцевого до загальнонаціонального, всього населення
Решение.
Сделаем рисунок, обозначим вершины углов трапеции привычными АВСD.
Точку касания окружности с прямой, которая содержит сторону СD, обозначим Н.
Середину АD обозначим М.
Продолжим АВ до пересечения с продолжением СD и точку пересечения обозначим К.
ВС равна половине АD по условию задачи, и потому, будучи параллельной ей,
является средней линией треугольника АКD.
Следовательно,
КС=СD,
ВК=АВ=6
Соединим С с серединой М основания АD.
СМ - параллельна АВ как вторая средняя линия треугольника АКD, так как АМ=МD и KC=CD.
Рассмотрим треугольник МСD.
Его стороны МС=6, CD=8, MD=10 и относятся как 3:4:5.
Это отношение - отношение сторон египетского треугольника -
и потому угол МСD- прямой.
Проверив это утверждение теоремой косинусов, или, что проще, теоремой Пифагора, сможем убедиться в его верности.
По той же причине ( отношение сторон треугольника АКD равно 3:4:5, угол АКD также прямой, а также еще потому, что АК|| МС.
Соединим центр окружности с вершинами А и В трапеции.
Получим равнобедренный треугольник АОВ.
Проведем высоту ОР ( она же и медиана этого треугольника) к АВ.
Рассмотрим четырехугольник РКНО.
В нем три угла прямые: угол ОНК прямой - так как радиус ОН перпендикулярен к касательной КD, угол КРО - как угол, образованный высотой равнобедренного треугольника АОВ, угол АКН - как соответственный углу МСD, следовательно, это - прямоугольник и сторона РК=ОН=R.
Так как выше доказано, что ВК=6, а РВ=половине АВ=3, РК=6+3=9 см
РК=ОН=R
Искомый радиус равен 9 см.