Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 9 см, основание 6 см. к боковым сторонам проведены высоты. найти длину отрезка, концами которого является основания высот. заранее !
Sabc = √p(p - a)(p - b)(p - c), где a,b,c - стороны треугольника, р - его полупериметр. Sabc = √(12·3·3·6) = 18√2 см² Sabc = AB·CK/2 ⇒ CK = 2Sabc/AB = 36√2/9 = 4√2 см ΔАКС = ΔСНА по гипотенузе (АС общая) и острому углу (∠КАС = ∠НСА как углы при основании равнобедренного треугольника) ⇒ АН = СК = 4√2 см и АК = НС = √(АС² - АК²) = √(36 - 32) = 2 см (по теореме Пифагора из ΔАКС) ВК = ВН = 9 - 2 = 7 см ΔКВН подобен ΔАВС по двум пропорциональным сторонам и углу между ними, ⇒ КН:АС = ВК:АВ, откуда КН = АС·ВК/АВ = 6·7/9 = 14/3 см
Медиана из вершины треголника делит противоположную сторону (основание) пополам. Высота из этого же угла перпендикулярна основанию. Треугольники, образовавшиеся при проведении высоты и медианы прямоугольные. У этих треугольников катеты образованные высотой и медианой равны. Катеты образованные делением основания медианой то же равны. Если катеты одного треугольника равны катетам другого треугольника, то такие треугольники равны. А значит боковые стороны исходного треугольника равны. Исходный треугольник равнобедренный.
Медиана из вершины треголника делит противоположную сторону (основание) пополам. Высота из этого же угла перпендикулярна основанию. Треугольники, образовавшиеся при проведении высоты и медианы прямоугольные. У этих треуголников катеты образованные высотой и медианой равны. Катеты образованные делением основания медианой то же равны. Если катеты одного треугольника равны катетам другого треугольника, то такие треугольники равны. А значит боковые стороны исходного треугольника равны. Исходный треугольник равнобедренный.
Sabc = √(12·3·3·6) = 18√2 см²
Sabc = AB·CK/2 ⇒ CK = 2Sabc/AB = 36√2/9 = 4√2 см
ΔАКС = ΔСНА по гипотенузе (АС общая) и острому углу (∠КАС = ∠НСА как углы при основании равнобедренного треугольника) ⇒
АН = СК = 4√2 см и
АК = НС = √(АС² - АК²) = √(36 - 32) = 2 см (по теореме Пифагора из ΔАКС)
ВК = ВН = 9 - 2 = 7 см
ΔКВН подобен ΔАВС по двум пропорциональным сторонам и углу между ними, ⇒
КН:АС = ВК:АВ, откуда КН = АС·ВК/АВ = 6·7/9 = 14/3 см