Нарисуем этот треугольник, проведем биссектрисы его равных углов.
Треугольник, получившийся при основании исходного, Угол при вершине - смежный с углом 40°, и равен
180-40=140°
Углы при основании этого равнобедренного треугольника равны
(180-140):2= 20°.
Поскольку они - половины углов исходного треугольника,
равные его углы=
20*2=40°.
Угол при его вершине=
180-40*2=100°
0) Обозначим одну точку как H, это будет ортоцентр. А другую, как O, это будет центр описанной окружности.
Вспомним два свойства ортоцентра:
1. Точка, симметричная ортоцентру относительно прямой, содержащей сторону треугольника, лежит на описанной около треугольника окружности.
2. Точка, симметричная ортоцентру относительно середины стороны треугольника, лежит на описанной около треугольника окружности и диаметрально противоположна вершине треугольника, противолежащей данной стороне.
1) Построим точку H' симметричную H относительно прямой а. Для этого: проводим полуокружность с центром H и радиусом (p) большим, чем расстояние от H до прямой а. Из точек пересечения полуокружности с прямой, проводим окружности с радиусом (p). Они пересеклись в двух точках, одна H, другая H'.
По свойству ортоцентра (1.) H' лежит на описанной окружности.
2) Проведём окружность с центром в точке O и радиусом OH'. Это и есть описанная окружность. По условию, точки пересечения этой окружности с прямой a, будут вершинами треугольника. Обозначим эти вершины как A и B. Построим сторону AB.
3) Определим середину AB. Для этого: проводим окружности с центрами в точках A и B, с равными радиусами (r), которые больше, чем половина AB. Через точки пересечения этих двух окружностей проводим прямую q. Точку пересечения прямых q и а обозначим как M. Это и есть середина AB.
4) Построим последнюю вершину треугольника C. Проводим прямую k через точки M и H. Точку пересечения k с описанной окружностью обозначим, как H₁. По свойству ортоцентра (2.) точка H₁ диаметрально противоположная точке С. Проводим через точки H₁ и O прямую t, точку пересечения прямой t и окружности обозначим как С. Это и есть последняя вершина.
5) Построим стороны AC и BC треугольника ABC. Задание выполнено.
Треугольник АВС, АМ биссектриса углаА, СН - биссектриса угла С, О -точка пересечени, угол МОС =40, угол АОс=180-40=140, треугольник АОС равнобедренный, угол А=угол С, уголМАС=уголАСН= х
уголМАС + уголАСН + 140 = 180
уголМАС=уголАСН =20
уголА=40=уголС, уголВ=180-40-40=100