Через две образующие конуса, угол между которыми равен 30 град., проведено сечение, имеющее площадь 25 дм кв. найдите объём конуса, если радиус основания равен 8 дм.
Рассмотрим рисунок, данный в приложении. ОВ - радиус конуса, МО –высота, АМ=ВМ=L - образующие, ∠АМВ=30°.
Сечение, ограниченное данными образующими - треугольник. Одна из формул площади треугольника S=a•b•sinα:2, где a и b - стороны, α - угол между ними. sin30°=0,5. 25=L²•0,5:2 ⇒ L²=100, L=10 дм. Из прямоугольного ∆ ВОМ по т.Пифагора высота конуса МО=√(MB²-OB²)=6 дм.
АВ = Рabcd : 4 = 12 : 4 = 3 см ВВ₁ и DD₁ - медианы, значит AD₁ = D₁B = AB₁ = B₁D = 3/2 см
ΔABD равнобедренный, поэтому ∠ABD = ∠ADB, BD₁ = DB₁, BD - общая сторона для ΔDD₁B и ΔBB₁D, значит эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними, ⇒ BB₁ = DD₁.
Медианы точкой пересечения делятся в отношении 2 : 1, считая от вершины. Обозначим OD₁ = OB₁ = x, тогда OD = OB = 2x. ΔOBD равнобедренный, значит ∠OBD = ∠ODB = 40°. ∠D₁OB = ∠OBD + ∠ODB = 80° как внешний угол ΔDOB.
Если необходимо числовое значение, а не выражение, можно взять значение cos 80° по таблице, тогда получится: cos 80° ≈ 0,1736 BB₁ = 9 / (2√(5 - 4cos80°)) ≈ 2,2
1. Рассмотрим осевое сечение конуса - треугольник АВС, он правильный. У правильного треугольника высота опущенная из точки В на сторону АС будет его медианой и биссектрисой. А если так то угол АВД=углу ДВС. Угол АВД = 30 градусов. 2. Рассмотрим треугольник ВБС. Угол Д равен 90 градусов, потому что ВД высота. Треугольник ВБС прямоугольный. За теоремой косинусов находим сторону треугольника АВС. cos углаДВС=ВД/ВС. ВС=ВД/cos углаДБС. 3. Площадь треугольника равна половине площади прямоугольника. S=(АС*ВД)/2
Рассмотрим рисунок, данный в приложении. ОВ - радиус конуса, МО –высота, АМ=ВМ=L - образующие, ∠АМВ=30°.
Сечение, ограниченное данными образующими - треугольник. Одна из формул площади треугольника S=a•b•sinα:2, где a и b - стороны, α - угол между ними. sin30°=0,5. 25=L²•0,5:2 ⇒ L²=100, L=10 дм. Из прямоугольного ∆ ВОМ по т.Пифагора высота конуса МО=√(MB²-OB²)=6 дм.
V=πR²H:3=π•8²•6:3=128π дм³