Смысл таких задач всегда одинаковый - надо найти, в какой пропорции точка К делит АР, а точка Р - сторону ВС. Оказывается, чтобы это определить, достаточно условий, что ВМ - медиана и К - её середина. Как будет видно дальше, в этой задаче достаточно найти КР/АК;
Пусть MN II BC, и точка N лежит на АР. Тогда треугольники MNK и BKP равны, так как ВК = КМ, и углы при этих сторонах равны. то есть NK = KP. При этом AN = NP, то есть КР = ВР/4, а AK = BP*3/4; и КР/АК = 1/3;
Этого уже достаточно, чтбы решить задачу. Дело в том, что отрезок СК делит треугольник АСР на два треугольника АКС и СКР, отношение площадей их равно 3 (у них высота общая - расстояние от С до АР, поэтому площади относятся, как АК/КР). При этом отрезок КМ делит треугольник АКС на два, равных по площади, так как М - середина ВС.
То есть если площадь СКР = s, то площадь АКС равна 3s, площади АКМ и КМС равны 3s/2, площадь КPСM равна s + 3s/2 = 5s/2;
и отношение площади KPCM к площади АМК = 5/3; задача решена.
Теперь пусть PQ II BC, Q лежит на ВМ. Тогда треугольник PQK подобен треугольнику ВМК. QK/KM = КР/АК = 1/3; QK = KM/3 = ВМ/6; QM = BM*(1/2 + 1/6) = BM*2/3; То есть BQ = BM/3, и, соответственно, ВР = ВС/3;
отсюда следует, что площади треугольников АРВ и АРС относятся, как 1/2. Это не имеет прямого отношения к задаче, но - если очень хочется - позволяет найти площади всех треугольников АВК, ВКР, АКМ и четырехугольника КРСМ по отношению к площади АВС. Можете сами попробовать :)
По условию задачи ∠AOD + ∠DOB +∠ BOC = 278° , а сумма всех четырёх углов равна 360° . Получим систему :
x + y + x = 278° 2 x + y = 278° 2 x + y = 278°
⇒ ⇒
x + y + x + y =360° 2 x + 2 y = 360° x + y = 180°
Из второго уравнения выразим у чеоез х : у = 180°-х и подставим это значение в 1 уравнение : 2 х + (180° - х ) = 278° ⇒
х + 180° = 278 ° ⇒ х= 278° - 180° ⇒ х = 98°
Тогда у = 180° - х = 180° - 98° = 82°
ответ : 98 ° ; 82° ; 98° ; 82°