Если соединить последовательно середины сторон выпуклого четырехугольника, то каждый из отрезков будет параллелен диагонали четырехугольника и равен его половине (как средняя линяя в треугольнике, образованном двумя сторонами и диагональю четырехугольника). То есть фигура, образованная этими отрезками - параллелограмм (противоположные стороны параллельны и равны между собой). Причем углы между сторонами параллелограмма равны углам между диагоналями исходного четырехугольника. Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон исходного четырехугольника, в этом параллелограмме будут диагоналями. Поскольку по условию эти отрезки равны, то параллелограмм является прямоугольником, углы между его сторонами прямые, следовательно, между диагоналями исходного четырехугольника тоже прямые углы.
Перпендикуляр OM образовывает прямоугольные треугольники AMO и BMO. Для них верно, из теоремы Пифагора: AO^2 = OM^2 + 3^2 BO^2 = OM^2 + 12^2 Но при этом для большого прямоугольного треугольника ABO верно: 15^2 = AO^2 + BO^2 Сложим два первых выражения: AO^2 + BO^2 = 2*OM^2 + 9 + 144 = 2*OM^2 + 153 И приравняем со вторым: 225 = 2*OM^2 + 153 2*OM^2 = 225 - 153 = 72 OM^2 = 36 OM = 6 Теперь подставим в первое выражение и найдём половинки диагоналей, т.е. AO и BO: AO^2 = 36 + 9 = 45 AO = = 3* BO^2 = 36 + 144 = 180 BO = = 6* Площадь ромба равна половине произведения диагоналей. Не забываем, что мы нашли половинки диагоналей, т.е.: S = 1/2 * 2*AO * 2*BO = 2*AO*BO = 2 * 3* * 6* = 36 * 5 = 180 см^2
= 3*
= 6*
Причем углы между сторонами параллелограмма равны углам между диагоналями исходного четырехугольника.
Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон исходного четырехугольника, в этом параллелограмме будут диагоналями.
Поскольку по условию эти отрезки равны, то параллелограмм является прямоугольником, углы между его сторонами прямые, следовательно, между диагоналями исходного четырехугольника тоже прямые углы.