Question

Д) Диагонали прямоугольной трапеции взаимно перпендикулярны, угол между большей диагональю и меньшей боковой стороной равен 60°. Дока
хите, что меньшая диагональ равна средней линии трапеции.​

Answer 1

Добрый день! Давайте разберемся в данной задаче.

Восстановим информацию, которая дана в задаче:
- У нас есть прямоугольная трапеция.
- В данной трапеции диагонали взаимно перпендикулярны, то есть образуют прямые углы.
- Угол между большей диагональю и меньшей боковой стороной составляет 60°.

Нам нужно доказать, что меньшая диагональ равна средней линии трапеции.

Давайте разберемся с понятием "средняя линия трапеции". Средняя линия трапеции - это отрезок, соединяющий середины оснований трапеции.

Для начала, обозначим нашу трапецию следующим образом:

C - угол между диагоналями
/ \
/ \
/ \
/_______\
A B

В данной трапеции AB - это основание, а CD - это второе основание трапеции, перпендикулярное AB. AC и BD - это диагонали трапеции.

Также, обратим внимание, что если у нас есть две перпендикулярные прямые, угол между которыми равен 90°, то эти прямые являются векторными и называются ортогональными.

Исходя из условия задачи, мы знаем, что угол между большей диагональю (AC) и меньшей боковой стороной (AB) равен 60°. Это означает, что AC и AB образуют ортогональные векторы.

Также, по определению трапеции, диагонали в ней перпендикулярны. Это означает, что AC и BD также являются ортогональными векторами.

Теперь рассмотрим половину нашей трапеции - ABC:

C
|\
| \
| \
A___|___B

Мы знаем, что AC и AB образуют угол в 60°, и эти векторы ортогональны.

Теперь представим себе точку O, которая является серединой гипотенузы AC. Поскольку AC состоит из двух диагоналей равные отношению половинам оснований, линия OX будет половиной основания AB.

Теперь давайте рассмотрим треугольник ACO:

C
/ \
/ \
/ \
/_______\
A O

Мы знаем, что угол ACO равен 60°, а линия OX - это половина основания AB. Теперь давайте найдем угол CAO:

C
/ \
/ \
/ \
/_______\
A O

Он должен быть равен 90°, потому что AD и AC являются ортогональными векторами.

Теперь, учитывая, что угол CAO равен 90°, мы можем сказать, что CAO - это прямой угол. Зная, что OA - это половина основания AB, мы можем заключить, что линия CA и линия OX должны быть равными.

Таким образом, мы доказали, что меньшая диагональ (BD) равна средней линии трапеции (OX).