З точки В, яка розміщена від площини на відстані 1 м, проведено дві похилі, які утворюють з площиною кути 45’ , а між собою - кут 60’. Знайти квадрат відстані між основами похилих.
Назовем наклонные ВА и ВС. Проведем перпендикуляр ВО из точки В к плоскости.
Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей на этой плоскости. Следовательно: угол ВОА=90° и угол ВОС=90°. Тогда ∆ВОА и ∆ВОС – прямоугольные.
ВО – общая сторона
Угол ВАО=угол ВСО
Тогда ∆ВОА=∆ВОС как прямоугольные треугольники с равными катетом и острым углом.
Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°, следовательно:
Так как длина всегда положительное число, то ВА=√2 м.
Тогда ВС=ВА=√2 м так же, как соответственные стороны равных треугольников.
По теореме косинусов в ∆АВС:
АС²=АВ²+ВС²–2*АВ*ВС*cos(ABC)
AC²=(√2)²+(√2)²–2*√2*√2*cos(60)
AC²=2+2–4*0,5
АС²=4–2
АС²=2 м.
Основания наклонных точки А и С, следовательно АС – расстояние между основаниями наклонных. Так как мы ищем квадрат расстояния, то искомая величина равна АС².
Из рис.1 видим, что BD-биссектриса, значит ∠ADB=∠BDC. А ∠CBD=∠ADB как вертикальные. Поэтому углы BDC и CBD равны между собой. Значит треугольник BCD-равнобедренный, то есть BC=CD. Аналогично показываем, что АВ=ВС. Таким образом три стороны трапеции равны между собой.
Если за О обозначить точку пересечения диагоналей, то из рис.2 видим, что треугольники ВОС и DOA подобны (по трем углам). Причем коэффичиент подобия равен 5/13.
Обозначим за 5х - длинну основания ВС и 13х - длинну основания AD. Найдем, чему равняется KD. KD=(AD-BC)/2=(13x-5x)/2=4x.
По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике KCD: KD²+CK²=CD². CK - это высота трапеции, а CD=BC=5х. Тогда имеем: (4х)²+90²=(5х)² , 8100=9х², 900=х², х=30(см).
Значит ВС=5*30=150(см), а AD=13*30=390(см). Площадь трапеции равна S=h*(BC+AD)/2=90*(150+390)/2=90*270=24300(см²)
ABCD-равнобед трапеция. Диагональ делит ее на два треуг-ка, средняя линия трапеции есть средние линии этих треугольников. В одном она равна x, значит основание одно 2x, в другом x+8, значит второе основание 2x+16. Если из тупых углов опустить высоты к большему основанию , то то они отсекут от него по 8 см с каждой стороны. Р/м треугольник, у которого 8см это катет, в высота второй катет, а гипотенуза-боковая сторона трапеции. Один угол 90, другой при основании 60, значит третий 30, напротив него сторона равная 8, значит гипотенуза равна 16. Р=2x+16+16+2x+16=72; 4x=24;x=6. Большее основание =2x6+16=12+16=28
Дано:
ВО=1 м;
Угол ВАО=45°;
Угол ВСО=45°;
Угол АВС=60°.
Найти: АС².
Найти: АС².Решение:
Назовем наклонные ВА и ВС. Проведем перпендикуляр ВО из точки В к плоскости.
Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей на этой плоскости. Следовательно: угол ВОА=90° и угол ВОС=90°. Тогда ∆ВОА и ∆ВОС – прямоугольные.
ВО – общая сторона
Угол ВАО=угол ВСО
Тогда ∆ВОА=∆ВОС как прямоугольные треугольники с равными катетом и острым углом.
Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°, следовательно:
Угол АВО=90°–угол ВАО=90°–45°=45°.
Получим: угол АВО=угол ВАО, значит треугольник ВОА – равнобедренный с основанием ВА.
Исходя из этого: АО=ВО.
ВО=1 м из условия. Значит: АО= 1 м
По теореме Пифагора в ∆ВОА:
ВА²=ВО²+АО²
ВА²=1²+1²
ВА²=2
Совокупность:
ВА=√2
ВА=–√2
Так как длина всегда положительное число, то ВА=√2 м.
Тогда ВС=ВА=√2 м так же, как соответственные стороны равных треугольников.
По теореме косинусов в ∆АВС:
АС²=АВ²+ВС²–2*АВ*ВС*cos(ABC)
AC²=(√2)²+(√2)²–2*√2*√2*cos(60)
AC²=2+2–4*0,5
АС²=4–2
АС²=2 м.
Основания наклонных точки А и С, следовательно АС – расстояние между основаниями наклонных. Так как мы ищем квадрат расстояния, то искомая величина равна АС².
ответ: 2 м.