Question

В прямоугольный треугольник вписан квадрат так, что одна из его сторон находится на гипотенузе. Боковые отрезки гипотенузы равны a и b. Найдите сторону квадрата.

Answer 1

Давайте рассчитаем длину стороны квадрата.

Пусть сторона квадрата равна x.

В прямоугольном треугольнике одна из сторон квадрата лежит на гипотенузе, а это значит, что длина гипотенузы равна двум сторонам квадрата:

Гипотенуза = 2x (1)

Также известно, что длины боковых отрезков гипотенузы равны a и b.

Используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, мы можем записать следующее уравнение:

a^2 + b^2 = Гипотенуза^2

Подставим значение гипотенузы, которую мы выразили через x:

a^2 + b^2 = (2x)^2
a^2 + b^2 = 4x^2 (2)

Мы получили систему уравнений (1) и (2), которую можем решить для нахождения значения x.

Для начала, возведем уравнение (2) в степень 0.5 (корень из обеих частей уравнения) для упрощения:

√(a^2 + b^2) = √(4x^2)
√(a^2 + b^2) = 2x (3)

Теперь возведем и (3), и (1) в квадрат, чтобы избавиться от корня:

(a^2 + b^2) = (2x)^2
a^2 + b^2 = 4x^2 (4)
x^2 = (1/4) * Гипотенуза^2
x^2 = (1/4) * (2x)^2
x^2 = (1/4) * 4x^2
x^2 = x^2 (5)

Мы получили систему уравнений (4) и (5), которую можем решить для нахождения значения x.

Вычтем уравнение (4) из уравнения (5):

x^2 - (a^2 + b^2) = x^2 - 4x^2
-a^2 - b^2 = -3x^2
3x^2 = a^2 + b^2
x^2 = (a^2 + b^2) / 3
x = √((a^2 + b^2) / 3)

Таким образом, сторона квадрата равна квадратному корню из суммы квадратов боковых отрезков гипотенузы, деленной на 3:

x = √((a^2 + b^2) / 3)

Это и будет искомым ответом.