1. Острый угол меньше 90°. Сумма смежных углов равна 180°, значит смежный с острым угол будет больше 90°, т.е. тупой.
ответ: в)
2. ∠1 - искомый, ∠2 и ∠3 - смежные с ним. Так как сумма смежных углов равна 180°, то
∠1 + ∠2 = 180° и ∠1 + ∠3 = 180°, значит ∠2 = ∠3 = 210°/2 = 105°.
∠1 = 180° - ∠2 = 180° - 105° = 75°
3. Полный угол составляет 360°, острый угол меньше 90°. Пусть n - количество углов с вершиной в одной точке.
360° / n < 90°
4 / n < 1
n > 4, т. е. 5 лучей можно провести.
4. Пусть 6 см - основание треугольника, тогда сумма боковых сторон:
18 - 6 = 12 см, а так как боковые стороны равны, то каждая равна 6 см.
Если 6 см - боковая сторона, то приходим к тому же результату:
18 - 6 · 2 = 18 - 12 = 6 см.
ответ: треугольник равносторонний со стороной 6 см.
5. ∠1 и ∠2 - внутренние односторонние при пересечении прямых m и n секущей а, так как их сумма равна 180° (135° + 45° = 180°), то прямы параллельны.
ответ: б)
6. ∠1 + ∠2 < ∠3
Сумма углов треугольника равна 180°:
∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°, значит ∠1 + ∠2 = 180° - ∠3.
Подставим в первое неравенство:
180° - ∠3 < ∠3
2∠3 > 180°
∠3 > 90°
Значит треугольник тупоугольный.
ответ: в)
7. Пусть х - меньший угол, тогда 2х - больший. Сумма углов треугольника 180°:
x + x + 2x = 180°
4x = 180°
x = 45°
Углы треугольника 45°, 45° и 90°.
ответ: 2) прямоугольный, 3) равнобедренный.
8. Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. Этому условию удовлетворяют только тройки чисел: 2, 3, 4 и 3, 4, 5.
ответ: 2 треугольника.
Часть В.
1. Если в треугольнике медиана является биссектрисой, то треугольник равнобедренный.
АВ + AD = Pabd - BD = 18 - 5 = 13 см
BC = AB, CD = AD,⇒
Pabc = 2(AB + AD) = 2 · 13 = 26 см
2. АМ = МС = АС/2 = 12/2 = 6 см, так как ВМ медиана.
В ΔАВМ АО - биссектриса и высота, значит ΔАВМ равнобедренный,
АВ = АМ = 6 см.
3. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°:
∠А + ∠В = 90°, тогда сумма их половин в два раза меньше:
∠1 + ∠2 = 45°.
В ΔАОВ: ∠АОВ = 180° - (∠1 + ∠2) = 180°- 45° = 135°
4. Все углы равностороннего треугольника равны 60°, тогда
∠DAC = ∠DCA= 60° - 15° = 45°.
ΔADC: ∠ADC = 180° - (∠DAC + ∠DCA) = 180° - 90° = 90°
5. Неточность в условии:
Биссектрисы AD и BE треугольника АВС пересекаются в точке О. Найдите угол С треугольника, если ∠АОЕ = 50°.
∠АОЕ - внешний угол треугольника АОВ, значит равен сумме двух внутренних, не смежных с ним:
∠АОЕ = ∠1 + ∠2 = 50°
Так как AD и ВЕ биссектрисы, то сумма углов А и В треугольника АВС будет в два раза больше:
∠А + ∠В = 2∠АОЕ = 2 · 50° = 100°.
Так как сумма углов треугольника равна 180°, то
∠С = 180° - (∠А + ∠В) = 180° - 100° = 80°
6. ∠ОАС = ∠ОСА, ⇒⇒ΔОАС - равнобедренный, тогда медиана BD является и высотой, значит и ΔАВС тоже равнобедренный.
Расстояние от точки до прямой - длина перпендикуляра, проведенного из точки к этой прямой.
OD⊥AC,⇒ ОС = 5 см.
Проведем ОЕ⊥АВ и OF⊥ВС. ОЕ = 8 см по условию.
Но BD и биссектриса равнобедренного треугольника АВС, а все точки биссектрисы равноудалены от сторон угла, значит
OF = OE = 8 см
Пусть ABCD - прямоугольная трапеция, в которую вписана окружность с центром в т. О.
ВС - основание трапеции
AD - основание трапеции
∠A = 90°
DE = 16 см
AE = AM = BM = BK = KO = MO = EO = r = 12cм
AD = AE + DE
AD = 12 + 16 = 28 (cм)
В прямоугольном треугольнике ODE:
катет OE = 12см
катет DE = 16 см
OD - гипотенуза
по теореме Пифагора
OD² = OE² + DE²
OD² = 12² + 16² = 400
OD = √400 = 20 (см)
Свойство касательных: Отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности ⇒
⇒ ED = FD = 16cм и CK = CF как отрезки касательных, ОD - биссектриса ∠ADC, OC - биссектриса ∠BCD
Сумма углов трапеции, прилежащих к боковой стороне равна 180° ⇒
∠BCD + ∠ADC = 180° ⇒ ∠DCO + ∠CDO = 180 / 2 = 90 (°)
Сумма углов треугольника равна 180° ⇒
⇒ ∠COD = 180 - (∠DCO + ∠CDO ) = 180 - 90 = 90(°)
В прямоугольном треугольнике COD
∠OCD= 180 - 90 - ∠CDO ⇒ ∠OCD = 90 - ∠CDO
В прямоугольном треугольнике OFC
∠OCF = 180 - 90 - ∠COF = 90 - ∠COF ⇒ ∠CDO = ∠COF
В прямоугольном треугольнике DFO
∠DOF = 180 - 90 - ∠CDO = 90 - ∠CDO = ∠OCD
Треугольники DFO u OFC подобны по трем углам
∠DFO = ∠OFC = 90° т.к. радиус окружности, проеведенный в точку касания, перпендикулярен касательной
∠CDO = ∠COF
∠DOF = ∠OCD
У подобных треугольников углы равны, а стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого треугольника. ⇒
DO : OC = DF : OF = OF : CF
20 : OC = 16 : 12 = 12 : CF
16 : 12 = 12 : CF
Свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних
16СF = 12*12
16CF = 144
CF = 144 / 16
CF = 9 (cм), тогда CK = 9 см
BC = BK + CK
BC = 12 + 9 = 21 (cм)
Если в прямоугольную трапецию вписана окружность, ее площадь равна произведению оснований.
S = AD * BC
S = 28 * 12 = 336 (см²)
(не смогла нарисовать ровные дужки для обозначения равных углов, поэтому обозначила их цифрами)
-----------------------------------------------------------------------------
DM диссектриса
Объяснение:
Dm-dk pk-pm то DM mdk