Проверим квадраты сторон треугольника АВС:
AB=5, BC=12, AC=13.
5² +12² = 25 + 144 = 169,
13² = 169. Треугольник АВС - прямоугольный, угол АВС - прямой.
Поэтому треугольник АМС лежит в вертикальной плоскости.
Проверим квадраты сторон треугольника ВМС:
ВМ=15, BC=12, МC=9.
9² +12² = 81 + 144 = 225,
15² = 225. Треугольник ВМС - прямоугольный, угол ВМС - прямой.
Угол α между плоскостями треугольника ABC и прямоугольника ABMN соответствует плоскому углу МВС.
α = arc sin(MC/BM) = arc sin(9/15) = arc sin(3/5) = 0,643501 радиан = 36,8699°.
Если осью симметрии четырёхугольника является его диагональ, то она делит его на два равных равнобедренных треугольника с основанием, лежащим на диагонали.
Итак, в нашем четырёхугольнике все стороны равны и параллельны, значит он, как минимум, ромб. Средняя линия ромба параллельна двум сторонам и, являясь осью симметрии, перпендикулярна двум другим, значит стороны ромба попарно параллельны и перпендикулярны, значит наш четырёхугольник - квадрат.
Доказано.