Question

АВСD - прямоугольник, его площадь 48 см2, DС=4см, прямая ОS перпендикулярна плоскости АВС, ОS=6см. Найти величину двугранного угла с ребром DС (лист 12).

2. АВСD - ромб, ВD=8см, прямая SС перпендикулярна плоскости АВС, SС=16см, двугранный угол с ребром ВD равен 45 градусов. Найти площадь ромба.

3. В параллелограмме АВСD АDC=150 градусов, АD=16см, DС=12см, прямая SС перпендикулярна плоскости АВС, SС=18см. Найти величину двугранного угла с ребром АD и площадь параллелограмма.​

Answer 1

1. Для начала найдем значение сторон прямоугольника АВСD. Из условия известно, что DC = 4 см и площадь прямоугольника равна 48 см². Площадь прямоугольника можно выразить как произведение длин его сторон, поэтому:
48 см² = AB * DC
48 см² = AB * 4 см
AB = 48 см² / 4 см
AB = 12 см

Теперь, найдем значение угла DСО, зная что SO – перпендикулярна плоскости АВС и SO = 6 см. Угол между плоскостью и перпердикуляром обозначим как α. В прямоугольном треугольнике DSO применим теорему Пифагора:
DS² = DO² + SO²
DS² = DC² + SO²
DS² = 4² + 6²
DS² = 52
DS = √52
DS ≈ 7.21 см

Теперь можем найти значение угла с ребром DC. В прямом треугольнике DSC применим обратные тригонометрические функции:
tg(α) = DC / DS
tg(α) = 4 см / 7.21 см
α ≈ arctg(4/7.21)
α ≈ 28.96°

Таким образом, величина двугранного угла с ребром DC равна приблизительно 28.96°.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2. В данном случае имеем ромб ABCD, где BD = 8 см и двугранный угол с ребром BD равен 45°. Поскольку угол равен 45°, то ромб ABCD является равноугольным.

Так как ромб равноугольный, то все его углы равны 90°. Пусть DBC – один из этих углов. Таким образом, угол DBC равен 90°.

Теперь применим теорему Пифагора к треугольнику DBC:
BC² = BD² + DC²
BC² = 8² + DC²
BC² = 64 + DC²

Также известно, что SC – перпендикулярна плоскости ABCD и SC = 16 см. Из этого можем выразить отрезок DC:
SC² = DC² + BC²
16² = DC² + BC²
256 = DC² + BC²

Из двух полученных уравнений можно составить систему:
DC² + BC² = 256
BC² = 64 + DC²

Решим эту систему уравнений. Подставим второе уравнение в первое:
DC² + (64 + DC²) = 256
2DC² + 64 = 256
2DC² = 256 - 64
2DC² = 192
DC² = 192 / 2
DC² = 96
DC = √96
DC ≈ 9.8 см

Зная отрезок DC, можем найти BC:
BC² = 64 + DC²
BC² = 64 + 96
BC² = 160
BC = √160
BC ≈ 12.7 см

Теперь можем вычислить площадь ромба ABCD по формуле:
Площадь ромба = (BD * BC) / 2
Площадь ромба = (8 см * 12.7 см) / 2
Площадь ромба ≈ 50.8 см²

Таким образом, площадь ромба ABCD приблизительно равна 50.8 см².
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
3. В параллелограмме ABCD заданы данные: ADC = 150°, AD = 16 см, DC = 12 см и SC = 18 см.

Сначала найдем значение угла САD. Так как прямая SC перпендикулярна плоскости ABCD и SС = 18 см, то прямоугольный треугольник ASD имеет гипотенузу SC = 18 см, а катет AD = 16 см. Применим обратные тригонометрические функции:
tg(AСD) = AD / SC
tg(AСD) = 16 см / 18 см
АСD ≈ arctg(16/18)
АСD ≈ 41.19°

Также известно, что в параллелограмме смежные углы соподчинены, то есть величина угла В = 180° - А = 180° - 41.19° = 138.81°.

Теперь применим теорему косинусов к треугольнику ADC. Пусть угол ВАD = α. Тогда:
DC² = AD² + AB² - 2 * AD * AB * cos(α)
12² = 16² + AB² - 2 * 16 * AB * cos(α)
144 = 256 + AB² - 32 * AB * cos(α)
AB² - 32 * AB * cos(α) = -112
AB² - 32 * AB * cos(α) + 112 = 0

Данное уравнение квадратное относительно AB. Найдем его корни с помощью квадратного выражения:
D = (32 * cos(α))² - 4 * 1 * 112
D = 1024 * cos²(α) - 448
D = 1024 * cos²(41.19) - 448
D ≈ 196.04

AB₁,₂ = (-32 * cos(α) ± √D) / 2
AB₁ = (-32 * cos(41.19) + √196.04) / 2
AB₂ = (-32 * cos(41.19) - √196.04) / 2

Подставим значения в формулу:
AB₁ ≈ 14.38 см
AB₂ ≈ -17.38 см

Ответом будет положительное значение AB = AB₁ ≈ 14.38 см.

Наконец, найдем площадь параллелограмма по формуле:
Площадь параллелограмма = AD * DC * sin(ADC)
Площадь параллелограмма = 16 см * 12 см * sin(150°)
Площадь параллелограмма = 192 см² * sin(150°)
Площадь параллелограмма ≈ 192 см² * 0.5
Площадь параллелограмма ≈ 96 см²

Таким образом, величина двугранного угла с ребром AD приблизительно равна 41.19°, а площадь параллелограмма составляет примерно 96 см².