Question

Найдите косинус острого угла между прямыми AC и BD , если A (5; -2); B(3; 8); C(0; 7) D (-5; 0).

Answer 1

Прежде чем начать решение, давайте вспомним, что такое косинус острого угла и как его искать.

Косинус острого угла между двумя прямыми можно найти с помощью следующей формулы:

cos θ = (AB ⋅ CD) / (|AB| ⋅ |CD|),

где AB и CD - векторы, соответствующие направлениям прямых AC и BD, |AB| и |CD| - их длины.

Шаг 1: Найдем векторы AB и CD.
Для этого вычтем координаты начальной точки из координат конечной точки каждой прямой:

AB = B - A = (3 - 5, 8 - (-2)) = (-2, 10),
CD = D - C = (-5 - 0, 0 - 7) = (-5, -7).

Шаг 2: Вычислим длины векторов |AB| и |CD|.
Для этого воспользуемся формулой длины вектора:

|AB| = √((-2)^2 + 10^2) = √(4 + 100) = √104,
|CD| = √((-5)^2 + (-7)^2) = √(25 + 49) = √74.

Шаг 3: Вычислим скалярное произведение AB ⋅ CD.
Для этого умножим соответствующие координаты векторов и сложим их:

AB ⋅ CD = (-2)(-5) + (10)(-7) = 10 + (-70) = -60.

Шаг 4: Найдем косинус угла θ, используя формулу:

cos θ = (AB ⋅ CD) / (|AB| ⋅ |CD|) = (-60) / (√104 ⋅ √74).

Шаг 5: Вычислим конечный результат, используя калькулятор или таблицу значений косинуса.
Поделим -60 на (квадратный корень из 104, умноженный на квадратный корень из 74), и округлим результат до нескольких знаков после запятой.

Ответ: косинус острого угла между прямыми AC и BD ≈ -0.849.

Это позволяет нам сделать вывод, что угол между прямыми AC и BD близок к 150 градусам.