В четырёхугольника ABCP BC||AP и BC больше AP. Биссектриса угла BAP пересекает сторону BC в точке K. Докажите, что треугольник ABK равнобедренный. Желательно с картинкой и объяснением. Заранее
Пусть куб KMNPK1M1N1P1 имеет вершины K(0,0,0) M(0,1,0) P(1,0,0) K1(0,0,1) этого достаточно, остальные вершины для определения куба не важны - они "сами собой" занимают своё место M1(0,1,1) N(1,1,0) P1(1,0,1) N1 (1,1,1) (разумеется, таким образом я определил систему координат XYZ) Все это преамбула, "подготовка площадки". Вот теперь решение. Пусть точкам присвоены ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ обозначения K1 <=> C; M <=> D; P <=> A; N1 <=> B; тогда ABCD - правильный тетраэдр. У него все грани - равносторонние треугольники. Плоскость ACD - это плоскость, проходящая через точки (1,0,0) (0,1,0) и (0,0,1), её уравнение x + y + z = 1; то есть нормальный вектор (1,1,1). Плоскость, проходящая через точки C(0,0,1) B(1,1,1) и E(1/2,1/2,0) имеет еще более простое уравнение x = y; нормальный вектор (1, -1, 0) угол между плоскостями равен углу между нормальными векторами, то есть надо найти угол между векторами (1,1,1) и (1,-1,0); их скалярное произведение равно 0, значит они перпендикулярны.
Между прочим, это можно было заметить сразу, поскольку диагональное сечение куба - плоскость BCE содержит прямую, перпендикулярную плоскости ACD - это AB, вектор AB совпадает с вектором, нормальным к ACD - это (1,1,1)
2 см
Объяснение:
Если в пирамиде все двугранные углы при основании равны, то вершина пирамиды проектируется в центр окружности, вписанной в основание.
∢BAC=90°; AB=3 см; AC=4 см; ∢OES=60°
Треугольник OSE — прямоугольный, OE=r — радиус окружности, вписанной в основание.
r=Sосн.p, Sосн.=катет⋅катет2=AB⋅AC2=3⋅42=6 см
Полупериметр p=AB+AC+BC2.
Вычисляем гипотенузу BC по теореме Пифагора:BC2=AB2+AC2; BC=32+42−−−−−−√=5 см
p=(3+4+5)2=6 см r=66=1 см
В треугольнике OSE катет OE находится напротив угла 300,
поэтому гипотенуза ES равна 2OE=2⋅1=2 см.