Все ребра треугольной призмы равны. Найдите площадь основания призмы, если площадь ее полной поверхности равна 8+16√ 3
Полная площадь призмы равна сумме площадей двух оснований и площади боковой поверхности. Пусть ребро призмы равно а. Грани - квадраты, их 3. S бок=3а² S двух осн.=( 2 а²√3):4=( а²√3):2 По условию 3а²+(а²√3):2=8+16√3 Умножим обе стороны уравнения на 2 и вынесем а² за скобки: а²(6+√3)=16+32√3)=16(1+2√3) а²=16(1+2√3):(6+√3) Подставим значение а² в формулу площади правильного треугольника: S=[16*(1+2√3):(6+√3)]*√3:4 S=4(√3+6):(6+√3)=4 (ед. площади)
Думаю, решение понятно. Перенести решение на листок для Вас не составит труда.
Задачу можно очень сильно упростить. Точка К - центр грани А1B1C1D1 - принадлежит прямым B1D1 и A1C1, то есть - обеим плоскостям. Точно так же центр грани ABB1A1 - точка М принадлежит A1B и B1A, то есть опять таки обеим плоскостям. Таким образом КМ - линия пересечения плоскостей. Треугольники А1КМ и В1КМ - равносторонние. Если считать, что их сторона равна 1, то ребро куба равно √2, а высота треугольника А1КМ (и В1КМ - тоже) равна √3/2;То есть если обозначить косинус угла между перпендикулярами к КМ из точек A1 и В1 как х, то по теореме косинусов(√2)^2 = (√3/2)^2 + (√3/2)^2 - 2*(√3/2)*(√3/2)*x; x = -1/3; Конечно, знак тут никакой роли не играет, просто выбранный для вычисления треугольник - тупоугольный. Дополнительный к нему угол имеет косинус 1/3; это просто вопрос выбора. На самом деле, самое простое решение этой задачи получается, если применить координатный метод. Пусть Р - середина А1В1. Пусть начало координат лежит в ней, ось Z проходит через точку М, Х - через точку К, Y - через точки А1 и В1.Здесь я принимаю ребро куба равным 2, то есть РА1 = РВ1 = РК = РМ = 1; Плоскость ВА1С1 - то есть плоскость А1КМ проходит через точки К = (1,0,0); А1 = (0,-1,0); М = (0,0,-1); уравнение такой плоскости x - y - z = 1; (можете проверить, что все три точки удовлетворяют этому уравнению)Отсюда нормальный вектор к этой плоскости q = (1,-1,-1);модуль этого вектора равен √3Плоскость АВ1С1 - то есть плоскость В1КМ проходит через точки К = (1,0,0); В1 = (0,1,0); М = (0,0,-1); уравнение такой плоскости x + y - z = 1;Отсюда нормальный вектор к этой плоскости l = (1, 1,-1);модуль этого вектора тоже равен √3;осталось вычислить угол между нормальными векторами (равный, очевидно, углу между плоскостями), для чего надо их скалярно перемножить и разделить на модули. Скалярное произведение равно ql = 1 - 1 + 1 = 1; а произведение модулей равно 3, откуда косинус угла равен 1/3.Видно, что тут ответ получается сам собой. Но большое преимущество такого метода в том, что им легко получать углы между плоскостями и в более сложных случаях, когда применение простых геометрических методов затруднительно.
1. а=4,5 см с=4,9 см ∠В=180-60-70=50°
S=8,5 см2
2. c=6.1 см
∠A=94.7°
∠B=25.3°
Объяснение:
1. высота в*sin60°=4*sin60°=3.5 cм
а=3,5/sin50°=4,5 cм
с=√a^2+b^2-2a*bcos70°=4.9 cм
S=c*3.5/2=8,5 см2
2. c=√7^2+3^2-2*7*3*cos60°=6.1 см
cos∠A=√(b^2+c^2-a^2)/2b*c=
/2* 3*6.1
∠A=94.7°
∠B=180-60-94.7=25.3°