Вот такое нахальное решение. ну уж простите : )пусть катеты a и b, гипотенуза с. я строю квадрат со сторонами (a + b), и дальше обхожу все 4 стороны по часовой стрелке, откладывая отрезок а от вершины. (пояснение.построенный со стороной (a + b) с вершинами аbcd, а - "левая нижняя" вершина. от а вверх - вдоль ав, откладывается а, потом от в вправо - вдоль вс откладывается а, потом от с вниз, вдоль cd, откладывается а, и от d вдоль da откладывается а.)все эти точки соединяются.получился квадрат со стороной с, вписанный в квадрат со стороной (a+b).ясно, что центры этих квадратов . это автоматически доказывает то, что надо в . (если не ясно, постройте там пару треугольников из диагоналей обоих квадратов и отрезков длины а и докажите их равенство. на самом деле не надо ничего доказывать - эта фигура из двух квадратов переходит сама в себя при повороте вокруг центра большого квадрата на 90 градусов. поэтому центр "вписанного" квадрата совпадает с центром большого, то есть лежит на биссктрисе прямого угла большого квадрата. ну, и биссектрисе прямого угла исходного треугольника, само собой - это одно и то же. этих треугольников там даже четыре, а не один : ), можно любой выбрать за исходный.)
Задача решается двумя Графически и алгебраически. приложение №1): Через точку С проводим диаметр окружности. Обозначаем его СМ. Проводим отрезок АМ. В треугольнике АМС угол А прямой (МС диаметр вписанного прямоугольного треугольника). АВДМ - трапеция (АМ||ВД), углы АВМ и АДМ равны (опираются на одну хорду АМ). Трапеция АВДМ - равнобедренная, АВ=МД=3 см. Треугольник МСД прямоугольный. МД=3 см, ДС=4 см, МС=√(3³+4³)=5 см. Радиус 5/2=2,5 см.
приложение №2): Радиус описанной окружности вокруг четырехугольника, равен радиусу описанной окружности любого треугольника, образованного сторонами этого четырехугольника. Радиус описанной окружности - R=a/2sinα , где а - сторона треугольника, α - противолежащий угол. Рассматриваем треугольник НВС, где Н точка пресечения диагоналей. Прямоугольный, угол Н (по условию), угол В - β, угол С - (90-β). R=СД/2sinβ=2/sinβ; R=АВ/2sin(90-β)=3/2cosβ. Делим одно выражение на другое. 3/2cosβ * sinβ/2=3tgβ/4=1, tgβ=4/3 R=2/sin(atgβ)=2.499999=2.5 см.
