Соединяем точки А₁, С₁ и К, так как они попарно лежат в одной грани.
А₁С₁ = 10√2 как диагональ квадрата.
ΔА₁D₁K: по теореме Пифагора
А₁К = √(A₁D₁² + D₁K²) = √(10² + 5²) = √125 = 5√5
ΔA₁D₁K = ΔC₁D₁K по двум катетам (A₁D₁ = C₁D₁ как ребра куба, D₁K - общий), значит А₁К = С₁К = 5√5
Рa₁c₁k = 10√2 + 5√5 + 5√5 = 10√2 + 10√5 = 10(√2 + √5).
КО - медиана и высота равнобедренного треугольника А₁С₁К.
По теореме Пифагора:
КО = √(А₁К² - А₁О²) = √(125 - (5√2)²) = √(125 - 50) = √75 = 5√3
Sa₁c₁k = 1/2 · A₁C₁ ·KO = 1/2 · 10√2 · 5√3 = 25√6
Проведем высоту ВН. ΔАВН - прямоугольный, ∠А=60°, тогда ∠АВН=30°, а АН=1\2 АВ=3.
Из ΔАВН найдем ВН
ВН=√(АВ²-АН²)=√(36-9)=√27.
Если основание АД=10, то ВС=10:5=2.
Проведем высоту СК=ВН=√27.
НК=ВС=2. АК=АН+КН=3+2=5; КД=АД=АК=10-5=5.
Найдем АС из ΔАСК. АС²=АК²+СК²=25+27=52. АС=√52=2√13.
Найдем ВД из ΔВДН, где ДН=КН+КД=2+5=7. ВД²=ВН²+ДН²=27+49=76. ВД=√76=2√19.
Найдем ∠СОД по формуле площади трапеции
S=1\2 d₁*d₂*sinα
найдем площадь по формуле S=1\2 (АД+ВС)*ВН=1\2 * (10+2) * √27 = 18√3.
18√3=1\2 * 2√13 * 2√19 * sin∠СОД
18√3=2√247 * sin∠СОД
sin∠СОД=15,6\15,7=0,9936
∠СОД=84°
ответ: 2√13 ед.; 2√19 ед; 84°