В треугольнике ABC AC=CB=10см, угол A=30 градусов, BK- перпендикуляр у плоскости треугольника и равен 5 см. Найти расстояние от K до AC
Рассмотрим образованную пирамиду АВСК. КВ перпендикулярно АВС, значит нам необходимо найти длину высоты, опущенной в грани АСК из вершины К на АС. По теореме о трех перпендикулярах ее проекция на плоскость АВС будет перпендикулярна АС. Обозначим точку пересечения высоты с АС через Н. Тогда нужно найти КН.
Рассмотрим основание пирамиды - треугольник АВС. Он равнобедренный АС=ВС=10, с углом у основания А=30 градусов. Опустим высоту из вершины треугольника С на АВ - СМ. Высота, опущенная из точки С, будет и биссектрисой, и медианой треугольника. То есть АМ=МВ. Треугольник АСМ - прямоугольный, с одним из осмтрых углов = 30 градусов, значит катет, лежащий против этого угла, равен половине гипотенузы: АМ=1/2*АС, АМ=1/2*10=5 (см) . По теореме Пифагора найдем второй катет СМ:
CM=sqrt(AC2-AM2)
CM=sqrt(100-25)=sqrt75=5sqrt3
BH- проекция КН на плоскость основания АВС, и, как было уже отмечено, ВН перпендикулярна АС. Рассм отрим треугольники АНВ и АМС- они подобны:
АН/АМ=НВ/МС=АВ/АС
НВ/МС=АВ/АС
НВ=МС*АВ/АС
НВ=5*(2*5sqrt3)/10=5sqrt3
Треугольник КНВ - прямоугольный (КВ перпендикулярно плоскости АВС) . По теореме Пифагора найдем КН:
KH2=KB2+HB2
KH=sqrt(25+75)=sqrt100=10 (см)
ответ: 552 см²
Объяснение: Назовём трапецию АВСD, ВС||AD; АВ перпендикулярна основаниям.
AB:CD=4:5;
AD-BC=18 см
BD=40 см
————————
Примем коэффициент отношения боковых сторон равным х. Тогда АВ=4х, СD=5х.
Трапеция прямоугольная, поэтому высота СН параллельна и равна АВ.
Из ∆ СНD по т.Пифагора CH²+HD²=СD²⇒
HD²=25x²-16x²=9x²⇒
HD=3x.
АВСН - прямоугольник, АН=ВС. Так как АD-BC=18 см, то НD=18 см, т.е. 3х=18, х=6 см.
АВ=4х=24 см
По т.Пифагора из ∆ АВD
АD²=BD²-AB²
AD=√(1600-576)=32 ⇒
BC=32-18=14 см
Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.
S(ABCD)=0,5•(BC+AD)•CH
S(ABCD)=552 см²
S=(ac*bc*ac)/4r
ac находим по теореме пифагора.
подставляем в формулу ас bc и ac , в знаменатель подставляем радиус и всё.