Question

Вравнобедренном треугольнике abc боковые стороны ab и bc равны 5 см, угол abc равен 36 градусов. биссектриса cd треугольника равна 3 см. найдите отношение площади треугольника dbc к площади треугольника abc.

Answer 1

Этот ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ треугольник обладает удивительным свойством - биссектриса CD делит его на два равнобедренных треугольника.

В самом деле, угол ВСА = (180 - 36)/2 = 72 градуса = угол ВАС, => угол BCD = 72/2 = 36 градусов, и => СD = BD = 3. На самом деле задача УЖЕ РЕШЕНА  - отношение равно 3/5 - это отношение BD/AB. В самом деле, если обозначить расстояние от точки С до АВ, как h, то Sabc = AB*h/2, Sdbc = BD*h/2, Sdbc/Sabc = BD/AB = 3/5.

Но для полноты картины заметим, что угол CDA = угол САВ + угол BCD = 72 градуса = угол САВ, поэтому CD = AC = 3, то есть нам известны все стороны треугольника АВС :) - это 5, 5 и 3. 

В результате мы получаем, что 3/5 = 2/3, что НЕВОЗМОЖНО. ПОЭТОМУ такого треугольника, как указано в задаче, НЕ СУЩЕСТВУЕТ. Размеры 5 и 3 противоречат условию, что угол при вершине - 36 градусов. :

Поэтому сделаем так - если задана боковая сторона 5, и угол при вершине 36 градусов, сосчитаем величину основания AC, биссектрисы CD и отрезка BD, которые РАВНЫ между собой. Обозначим CD = x. По свойству биссектрисы имеем

x/5 = (5-x)/x; x^2 + 5*x - 25 = 0; Отсюда х = 5*(корень(5) - 1)/2.

Именно такова длина биссектрисы CD в ПРАВИЛЬНОМ условии. И отношение  Sdbc/Sabc = BD/AB в реальности равно (корень(5) - 1)/2;

Справедливости ради стоит отметить, что 5*(корень(5) - 1)/2 примерно равно 3,09016994374947, то есть не сильно отличается от 3. Почти как в старом грузинском анекдоте ("ну, 2х2 где-то 7 или 8, но не 49 же")

Answer 2

$S_{ABC} = \frac{1}{2}*AB*BC*sin36$

$S_{ABC} = \frac{1}{2}*5*5*sin36=12.5*sin36$

Попробуем выразить площадь треугольника DBC.

Для начала найдем углы при основании равнобедренного треугольника

угол A=углу С= (180-36)/2=72(по теореме о сумме углов треугольника)

Найдем угол DBC :Т.к CD - биссектриса ,то угол $DBC =\frac{1}{2}$ угла С = 36

$S_{DBC} = \frac{1}{2}*DC*BC*sin36$

$S_{DBC} = \frac{1}{2}*3*5*sin36=7.5 * sin36$

Найдем отношение площади треугольника DBC к площади треугольника ABC.

$\frac{S_{DBC}}{S_{ABC}}=\frac{7.5*sin36}{12.5*sin36}=\frac{7.5}{12.5}=0.6$