Дано:
a || b
c -секущая
Доказать:
биссектрисы односторонних углов перпендикулярны.
Доказательство.
АЕ - биссектриса угла А,
BD - биссектриса угла В.
АЕ пересекается с BD в точке О.
Известно, что сумма односторонних углов равна 180 градусов, тогда:
Угол А + Угол В = 180
Рассмотрим треугольники АОВ и АОD:
АЕ - биссектриса угла А,
BD - биссектриса угла В.
Угол А и Угол В односторонние =>
Угол ВАО + Угол АВО = 1/2 * (Угол А + Угол В )
Угол ВАО + Угол АВО = 90
Значит Угол АОВ = 180 - (Угол ВАО + Угол АВО) = 180 - 90 = 90
Аналогично и со вторым треугольником.
BD - секущая, a || b => Угол ОВЕ = Углу BDA - накрест лежащие !
Так как углы эти равны, то из равенства Угол ВАО + Угол АВО = 90 следует, что сумма угла А/2 + угол D = 90
Значит угол АОD = 90 =>
трегоьники равны по 3ему признаку равенства треугольников (по трем углам) => АЕ и BD перпендикулярны
∠КВС = 108° - внешний угол ΔАВС при вершине В, он равен сумме внутренних углов треугольника не смежных с ним:
∠А + ∠С = 108° (1)
∠DCB = 137° - внешний угол ΔАВС при вершине C, он равен сумме внутренних углов треугольника не смежных с ним:
∠А + ∠B = 137° (2)
Cложим выражения (1) и (2)
∠А + ∠А + ∠В + ∠С = 108° + 137°
∠А + (∠А + ∠В + ∠С) = 245° (3)
Сумма внутренних углов треугольника равна 180°, то есть
∠А + ∠В + ∠С = 180°
Тогда выражение (3) примет вид
∠А + 180° = 245°
и
∠А = 245° - 180°
∠А = 65°.
Из выражения (1):
∠С = 108° - ∠А = 108° - 65°
∠С = 43°.
Из выражения (1):
∠В = 137° - ∠А = 137° - 65°
∠В = 72°.
кошмар, вот это