Объяснение:
1.
Дано: ΔАВС - прямокутний, ∠В=90°, АВ=ВС=10√2. R - ? r - ?
АС²=АВ²+ВС²=(10√2)² + (10√2)² = 200+200=400; АС=20.
Центр описаного кола припадає на середину гіпотенузи, отже
R=АО=ОС=20:2=10 од.
r=(a+b-c)/2=(10√2 + 10√2 - 20)\2 = (20√2 - 20)/2 = (20√2 - 1)/2 = 10√2 - 1 од.
2.
Катети трикутника а, в, гіпотенуза с. Тоді за умовою
а+в+с=24; а²+в²+с²=200; а²+в²=200-с², за теоремою Піфагора а²+в²=с²
200-с²=с²; 200=2с²; с²=100; с=10 см.
а+в+10=24; а+в=24-10=14 см.
Нехай а=х, тоді в=14-х.
х²+(14-х)²=10²
х²+196-28х+х²-100=0
2х²-28х+96=0
х²-14х+48=0
х=8 та х=6
а=8 см; в=6 см
S=1/2 * 8 * 6 = 24 cм²
Розглянемо трикутники АВМ і А1В1М1. За умовою АВ = А1В1, АМ = А1М1, ﮮВАС = ﮮВ1А1С1. Оскільки АМ і А1М1 – бісектриси рівних кутів ВАС і В1А1С1, тоді ﮮВАС = 2ﮮВАМ = ﮮВ1А1С1 = 2ﮮВ1А1М1, тобто ﮮВАМ = ﮮВ1А1М1. За двома сторонами та кутом між ними ∆ВАМ = ∆В1А1М1. У рівних трикутників відповідні сторони та кути рівні АВ = А1В1, ﮮВМА = ﮮВ1М1А1. Розглянемо трикутники АМС і А1М1С1. За умовою ﮮВАС = 2ﮮМАС = ﮮВ1А1С1 = 2ﮮМ1А1С1, тобто ﮮМАС = ﮮМ1А1С1, переконаємось, що ﮮАМС = ﮮА1М1С1, тобто різниця величин двох кутів дорівнює нулю. Кути розгорнуті ﮮВАС = ﮮВ1М1С1 = 180˚. Тому ﮮАМС – ﮮА1М1С1 = (180˚ - ﮮВМА) – (180˚ - ﮮВ1М1А1) = ﮮВ1М1А1 – ﮮВМА = 0˚. За стороною і двома прилеглими кутами ∆АМС = ∆А1М1С1. У рівних трикутників відповідні сторони і кути рівні АС = А1С1, ﮮАСВ = ﮮА1С1В1, МС = МС1. За основною властивістю довжини відрізка ВС = ВМ + МВ = В1С1 = В1М1 + М1С1. Трикутники АВС і А1В1С1 рівні.