∆АНВ ~ ∆CPE (по острому углу <A = <C в равнобедренном ∆АВС) =>
<CEP = <ABH.
<ABH = <CBH = <DBH. (ВН - высота, медиана и биссектриса).
<CDA+<ADB = 180° (смежные) =>
<CDA+<DBA = 2<CDE+2<DBH =180° => <CDE+<DBH = 90°.
<CDE= 90 - <DBH = 90 - <ABH. Но <ABH = <CEP (показано выше).
Тогда <CDE =90 - <CEP или <CEP = 90 - <CDE.
В прямоугольном треугольнике PDE
PED = 90 - <CDE =>
<CEP = <PED и треугольник СED - равнобедренный, где ЕР и высота, и медиана, и биссектриса.
Следовательно, точка Е - пересечение прямых АС, ЕР и DE, что и требовалось доказать.
Дано: АВСД - трапеция, АВ=СД, АД=16√3, ∠А=∠Д=60°, АС⊥СД. Найти S(АВСД).
Решение: Проведем высоту СН, тогда S(АВСД)=(ВС+АД):2*СН.
Рассмотрим ΔАСД - прямоугольный, ∠Д=60°, тогда ∠САД=90-60=30°, а СД=1\2 АД=16√3:2=8√3.
Диагональ АС перпендикулярна к боковой стороне и делит угол А пополам, значит большее основание трапеции в два раза больше меньшего основания и её боковых сторон; и высота трапеции равна половине её диагонали.
СД=ВС=16√3:2=8√3;
АС²=(16√3)²-(8√3)²=768-192=576; АС=√576=24.
СН=1\2 АС=24:2=12.
S(АВСД)=(8√3+16√3):2*12=144√3 (ед²).
ответ: 144√3 ед²
Верхний треугольник-равносторонний(так как его углы равны (60гр.))Все стороны равны а диагональ -36см