В треугольнике АВС проведена прямая МК параллельная стороне АС. Точки М и К принадлежат сторонам АВ и ВС соответственно; АВ=24 см, АМ= 9 см, ВС=16 см. Найти ВК.
Все ребра данного нам тетраэдра разные. Но они все даны. Проведены медианы СМ - в треугольнике АВС и КМ - в треугольнике ВКА. Следовательно, чтобы найти длину медианы КМ, необходимо воспользоваться формулой для длины медианы. Формула: Ma=√(2b²+2c²-a²). Заметим, что АК и ВК - медианы в треугольниках ADC и BDC соответственно. Тогда АК=√(2АС²+2AD²-CD²) или АК=√(2b²+2a1²-c1²). BK= √(2BC²+2BD²-CD²) или BК=√(2a²+2b1²-c1²). И в треугольнике ВКА искомая медиана МК=√(2АК²+2BК²-АВ²). Подставим найденные значения: МК=√(2(2b²+2a1²-c1²)+2(2a²+2b1²-c1²)-с²) =√((4a²+4b²-с²)+4(a1²+b1²-c1²)).
Точка К, из которой будет виден отрезок МN под наибольшим углом, будет находиться на общей окружности с точками М и N. При этом OK для неё является касательной. По свойству касательной и секущей ОК²=ОМ·ОN. Пусть ОМ=х, тогда ОN=OM+MN=x+6, 4²=x(х+6), х²+6х-4=0, х1=-8, отрицательное значение не подходит, х2=2. ON=2+6=8 дм - это ответ.
Теперь докажем, что отрезок MN виден из точки К под большим углом. Пусть радиус окружности около тр-ка КMN равен r. На стороне ОК в любом месте возьмём точку Р и опишем окружность около тр-ка РMN, радиусом R. ОР для неё является секущей, а для окружности, радиусом r - касательной, значит R>r. Формула хорды: l=2R·sin(x/2), где х - градусная мера хорды. ∠MKN=α, ∠MPN=β. Обратим внимание, что углы α и β - это половина градусной меры хорды. MN=2R·sinβ ⇒ sinβ=MN/2R. MN=2r·sinα ⇒ sinα=MN/2r. Сравним синусы, предположив, что они равны. MN/2R=MN/2r. 1/R=1/r, но R>r, значит 1/R<1/r, значит sinβ<sinα. Так как градусная мера хорды не может быть больше 180°, значит в формуле хорды 0°<α<90°, 0°<β<90°. В этом диапазоне синус угла тем больше, чем больше его градусная мера, значит α>β. Доказано.
Решение представлено на двух фото.
ответ: 10 см.