Дано: ABCD - трапеция общего вида, AD - основание трапеции, M *не принадлежит (Перечеркнутая буква Э, в зеркальном отражении)* плоскости ABCD.
Доказать: AD II BMC
"Точку M можно расположить где угодно, лишь бы она не входила в плоскость ABCD, т.е.
можно делать и не такой чертеж как у меня на рисунке."
Доказательство:
BC - общася сторона трапеции ABCD и треугольника BCM.
В любой трапеции основания параллельны, следовательно BC II AD.
По теореме, если прямая (AD) параллельна другой прямой находящейся в плоскости(BC), то эта прямая (AD) параллельна той самой плоскости (BMC) -> AD II BMC, ч.т.д.
Т.к. АД || ВС, а АС секущая к ним, то углы СВД=АДВ и АСВ=САД. Углы ВКС и АКД равны как вертикальные. Тогда треугольники АКД и ВКС подобны по 3-м равным углам, коэффициент подобия по условию равен 2:5. По свойству подобных треугольников отношение высот равно коэффициенту подобия. Из точки К проведем высоту h1 в треугольнике ВКС и высоту h2 в треугольнике АКД.
Из подобия треугольников:
1) ВС:АД=2:5; АД=5ВС/2
2) h1:h2=2:5; h2=5h1|/2
Площадь ВКС=ВС*h1/2. Площадь АКД=АД*h2/2=5ВС/2*5h1/2=25*площадь ВКС/4=25*8/4=50