1.3) Теорема. От любой данной точки можно отложить направленный отрезок, равный данному, и притом – только один.
Если данный направленный отрезок – нулевой, то утверждение теоремы очевидно. Пусть отрезок – ненулевой. Проведем через точку С прямуюl, параллельную (АВ). Направленный отрезок, который нам надо отложить, обязан лежать на этой прямой (ибо он коллинеарен ) и иметь длину |АВ|. От точки С можно отложить ровно два таких отрезка – обозначим изи(рис. 4), причем(почему?). В силу (Н4) если, то, а если, то. Таким образом, в обоих возможных случаях существует ровно один искомый отрезок, что и требовалось доказать.
(1.4) Теорема. Все направленные отрезки разбиваются на непересекающиеся классы отрезков таким образом, что любые два отрезка из одного класса равны между собой, а из разных классов – не равны.
Зафиксируем произвольную точку О, и для каждого направленного отрезка , исходящего из этой точки, обозначим через К() класс (т.е., совокупность) всех равных ему отрезков. При этом каждый направленный отрезок попадет ровно в один из таких классов, а именно, в класс равного ему направленного отрезка, отложенного от точки О. Поскольку любые два отрезка из одного и того же класса К() равны отрезку, они равны и между собой (теорема 1.2). Теперь допустим, что нашлись равные отрезкиК() иК(). Но тогда===, откуда по той же теореме 1.2=. Таким образом, если два отрезка равны, то они лежат в одном классе, то есть отрезки из разных классов не могут быть равными. В частности, это означает, что разные классы не могут пересекаться.
Координаты середины отрезка равны полусумме соответствующих координат начала и конца отрезка. Следовательно,
1). Xd=(Xa+Xb)/2 => Xa=2*Xd - Xb => Xa= -2-8= -10.
Yd=(Ya+Yb)/2 => Ya=2*Yd - Yb => Ya= 14-5= 9. Точка А(-10;9)
2). Xb=2*Xd - Xa => Xb=8-3=5. Yb=2*Yd - Ya => Yb= -4-0= -4. Точка B(5;-4).
Параллелограмм - четырехугольник, у которого две противоположные стороны равны и параллельны. В данном нам четырехугольнике сторона АВ=√((Xb-Xa)²+(Yb-Ya)²)=√((-7-2)²+(0-(-5))²)=√(81+25)=√106.
CD=√((Xd-Xc)²+(Yd-Yc)²)=√((3-(-6))²+(-4-1)²)=√(81+25)=√106.
Итак, противоположные стороны АВ и CD равны. Условие параллельности векторов: координаты векторов должны быть пропрпциональны, то есть их отношение должно быть равно. В нашем случае вектора АВ и CD имеют координаты: АВ{-9;5}, a CD{9;-5}. Xab/Xcd=Yab/Ycd= -1, то есть АВ параллельна CD.
Таким образом, четырехугольник АBCD - параллелограмм, что и требовалось доказать.