11. Хорда АС стягивает дугу окружности в 140°. Найдите угол ACB между этой хордой и касательной к окружности, проведенной через точку C (рис. 17.12).
1. Расстояние от точки до прямой - это перпендикуляр к прямой. Наклонные к прямой и этот перпендикуляр образуют два прямоугольных треугольника. с гипотенузами, равными 13см и 15см и катетами, равными Х и Х+4. Второй катет - искомое расстояние - общий. Тогда по Пифагору можем написать: 13²-х² = 15²-(х+4)². Отсюда х=5см. Искомое расстояние равно: √(169-25) = 12 см.
2. Так как диагональ АС равнобокой трапеции АВСD образует с боковой стороной CD угол АСD, равный 90°, то большее основание трапеции AD является диаметром описанной окружности и равно 2R. В прямоугольном треугольнике ACD: Sinα = CD/AD => CD=2R*Sinα, а AC=2R*Cosα. Высота трапеции СН - это высота треугольника ACD, опущенная из прямого угла и по свойству этой высоты, равна: АС*СD/AD или СН=4R²Sinα*Cosα/2R = 2RSinα*Cosα. Но по формуле приведения 2Sinα*Cosα =Sin2α. Тогда ответ:
1 а) ВА ВС ВВ1, в которой все три вектора, выходя из одной вершины, направлены в разные стороны. Во второй группе векторы АВ1 и СС1, будучи приведёнными к общему началу, лежат в одной плоскости. ответ: а) ВА ВС ВВ1. 2 а) ВА+ВС+ВВ1+В1А =ВК, так как ВА+ВС=ВА+AD=BD; BB1+B1A=BA; BD+BA=BD+DK(DK=BA)=BK. Или так: BD+BB1=BD+DD1=BD1; BD1+B1A=BD1+D1K(D1K=B1A)=BK. Решение не удовлетворяет условию. б) ВВ1+СD+A1D1+D1В = BB=0, так как: BB1+CD=BB1+B1A1=BA1; BA1+A1D1+D1B=BB = 0. 3. а) Вектор BD=BA+AD. BA=AH+HB; AD=2*AM. AH=(3/2)*AO (так как АН - высота правильного треугольника и АО=(2/3)*АН). НВ= - (1/2)ВС. Тогда BD=(3/2)*AO - (1/2)ВС+2*AM. Или BD=4AM - ВС+3AO. б) Вектор АС=BC-BA. BC=BD+DC; DN=BN-BD; DC=2DN=2(BN-BD). Тогда АС=BD+2(BN-BD)-BA, или АС= 2BN-BD-BA. 4. a) Вектор MC=MA+AC. MA=(1/2)*DA, DA=BA-BD, AC=BC-BA. Тогда МС=(1/2)*(BA-BD) +BC-BA или МС=ВС-(ВА+BD)/2. б) Вектор АВ=DB-DA. DA=2DM. AB=DB-2DM. Или так: АВ=АС+СВ, АС=DC-DA, AC=2(DN-DM) так как M и N - середины DA и DC)/ CB=DB-DC=DB-2DN. AB=2DN-2DM+DB-2DN = DB-2DM.
1. Расстояние от точки до прямой - это перпендикуляр к прямой. Наклонные к прямой и этот перпендикуляр образуют два прямоугольных треугольника. с гипотенузами, равными 13см и 15см и катетами, равными Х и Х+4. Второй катет - искомое расстояние - общий. Тогда по Пифагору можем написать: 13²-х² = 15²-(х+4)². Отсюда х=5см. Искомое расстояние равно: √(169-25) = 12 см.
2. Так как диагональ АС равнобокой трапеции АВСD образует с боковой стороной CD угол АСD, равный 90°, то большее основание трапеции AD является диаметром описанной окружности и равно 2R. В прямоугольном треугольнике ACD: Sinα = CD/AD => CD=2R*Sinα, а AC=2R*Cosα. Высота трапеции СН - это высота треугольника ACD, опущенная из прямого угла и по свойству этой высоты, равна: АС*СD/AD или СН=4R²Sinα*Cosα/2R = 2RSinα*Cosα. Но по формуле приведения 2Sinα*Cosα =Sin2α. Тогда ответ:
СН = RSin2α.