Дано: Δ АВС∠С = 90°АК - биссектр.АК = 18 смКМ = 9 смНайти: ∠АКВРешение. Т.к. расстояние от точки измеряется по перпендикуляру, то опустим его из (·) К на гипотенузу АВ и обозначим это расстояние КМ. Рассмотрим полученный Δ АКМ, Т.к. ∠АМК = 90°,то АК гипотенуза, а КМ - катет. Поскольку, исходя из условия, катет КМ = 9/18 = 1/2 АК, то ∠КАМ = 30°. Т.к. по условию АК - биссектриса, то ∠САК =∠КАМ = 30° Рассмотрим ΔАКС. По условию ∠АСК = 90°; а∠САК = 30°, значит, ∠АКС = 180° - 90° - 30° = 60° Искомый ∠АКВ - смежный с ∠АКС, значит, ∠АКВ = 180° - ∠АКС = 180° - 60° = 120° ответ: 120°
По теореме косинусов составим 3 уравнения, выразив основания "а" через боковые стороны и угол при вершине.
а² = 3²+4²-2*3*4*cosα = 25 - 24*cosα
a² = 4²+5²-2*4*5*cosβ = 41 - 40*cosβ
a² = 5²+3²-2*5*3*cosω = 34 - 30*cosω
Получаем 4 неизвестных: а, α, β и ω.
Поэтому добавляем четвёртое уравнение:
α + β + ω = 2π.
Ниже приведено решение системы этих уравнений методом итераций:
α градус α радиан cos α a² = a =
25 24 150.0020 2.6180 -0.8660 45.7850 6.7665
41 40 96.8676 1.6907 -0.1196 45.7830 6.7663
34 30 113.1304 1.9745 -0.3928 45.7848 6.7664.
С точностью до третьего знака получаем значение стороны равностороннего треугольника, равной 6,766 единиц.