Имеется есть 10 квадратных карточек, стороны которых равны соответственно 10 единиц, 9, 8 и т.д. до 1 единицы. Карточки с четными сторонами, черные, а остальные карточки белые. Положим на стол самую большую карточку (это черная карточка со стороной 10 единиц). Потом на нее (так, чтобы она лежала в левом верхнем углу черной карточки) положим белую карточку со стороной 9 единиц (см. рис. а). Затем на нее (в левый нижний угол) положим черную карточку со стороной 8 (рис. б). На нее (в правый нижний угол) кладем следующую по размеру карточку. Продолжим этот процесс далее, причем положения карточек как бы “закручиваются’’ внутрь против часовой стрелки. Вопрос: какой рисунок получится после выкладывания последней карточки?
Немного отвлечемся от задачек, чтобы вы сразу не бросались читать решения, а немного сами подумали над ними. Впрочем, как всегда ;) .
Стивен Барр — американский писатель и любитель математики. К математике Барр обратился довольно поздно. Он заинтересовался задачами моделирования сложных поверхностей, что и привело к тому, что он начал ей заниматься. Его интерес подерживал Мартин Гарднер. В США Барр издал три книги, которые имели довольно большой успех, возможно, даже больший, чем его художественные произведения.
А теперь приведу решения задач.
1. Произведение в знаменателе — это разность квадратов:
\[1234567890\cdot 1234567892=(1234567891-1)\cdot(1234567891+1)=1234567891^2-1,\]
откуда знаменатель сразу находится — он равен 1. Соответственно, вся дробь равна числителю, и это 1234567890.
2. Получится черный квадрат, на котором расположена белая спираль, состоящая из квадратиков, которая закручивается внутрь по часовой стрелке:
Объяснение:
Объяснение:∠С и ∠ВКЕ- соответственные углы при прямых ЕК и АС и секущей ВС, ∠ВКЕ=∠С=40°. Значит по признаку параллельности прямых АС║ЕК.
2) Тогда по теореме Фалеса ВК=КС=5 см, ⇒ ВС=ВК+КС= 5+5 = 10 см.
3)ЕК-средняя линия ΔАВС, ⇒ АС= 2·ЕК.
4)Из ΔЕВК по теореме синусов имеем:
4/Sin40° = 5/Sin∠1, где ∠1=∠ВЕК. ⇒ Sin∠1 = 5Sin40°/4
5) ∠В=180°- (40°+∠1), ⇒
Sin∠B= Sin(180°- (40°+∠1))= Sin(40°+∠1)= Sin40°·Cos∠1+Cos40°·Sin∠1=Sin40°·Cos∠1+Cos40°· 5Sin40°/4= Sin 40°(Cos∠1+5 Cos 40°/4)
Аналогично: EK/Sin∠B= 4/Sin40° ⇒ EK=4Sin∠B /Sin40°⇒
EK=4Sin∠B /Sin40°= 4·Sin 40°(Cos∠1+5 Cos 40°/4)/Sin 40°=
4(Cos∠1+5 Cos 40°/4)= 4Cos∠1 +5·Cos 40°
6)ВычислимСоs∠1:
Известно, что Sin∠1 = 5Sin40°/4 ⇒ Cos²∠1= 1 - Sin²∠1 = 1-25·Sin²40°/16 =(16-25·Sin²40)/16 ⇒
Соs∠1=√(16-25·Sin²40)/16= 1/4 · √(16-25·Sin²40)
7) Тогда EK= 4Cos∠1 +5·Cos 40°= 4· 1/4 · √(16-25·Sin²40) +5·Cos 40°= √(16-25·Sin²40) +5·Cos 40°⇒
АС=2 ЕК =2√(16-25·Sin²40) +10·Cos 40°
d=sqrt((4-2)^2+(2-4)^2+(-2+1)^2)=sqrt(4+4+1)=sqrt(9)=3