а) В прямоугольной системе координат уравнение сферы радиуса R с центром в точке С(Xo; Yo; Zo) имеет вид:
(x - xo)² + (y - yo)² + (z - zo)² = R².
Значит, надо выделить полные квадраты в заданном уравнении
x² + y² + z² - 4x + 6y = 36.
(x² - 4x + 4) - 4 + (y² + 6y + 9) - 9 + z² = 36.
(x - 2)² +( y + 3)² + z² = 49.
Теперь видны координаты центра сферы: О(2; -3; 0) и величина радиуса R = √49 = 7.
б) Расстояние от центра сферы до заданной плоскости x = −6 равно 2 - (-6) = 8.
Так как радиус равен 7, то сфера не касается такой плоскости.
Даны точки точки А(6;-1;2) и В(-4;2;1).
Пусть искомая точка будет С(0; 0; z).
Расстояние между двумя точками = √((x1-x2)²+(y1-y2)²+(z1-z2)²).
Нам достаточно найти квадрат расстояния.
AС² = (0-6)² + (0-(-1))² + (z - 2)².
BC² = (0-(-4))² + (0-2)² + (z - 1)².
AC² = BC².
36 + 1 + z² - 4z + 4 = 16 + 4 + z² - 2z + 1,
2z = 20,
z = 20/2 = 10.
ответ: точка С(0; 0; 10).