авсd - параллелограмм.
диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
пусть о - точка пересечения ас и вd.
тогда о - середина ас и середина вd.
найдем координаты середины диагонали ас:
х₀ = (3 + 1)/2 = 2;
у₀ = (- 4 + 2)/2 = - 1;
z₀ = (7 + (- 3))/2 = 2.
эти же координаты имеет середина диагонали вd.
найдем координаты d(х; у; z):
(- 5 + х)/2 = 2 (3 + у)/2 = - 1 (- 2 + z)/2 = 2
- 5 + х = 2 · 2 3 + у = - 1 · 2 - 2 + z = 2 · 2
- 5 + х = 4 3 + у = - 2 - 2 + z = 4
х = 4 + 5 у = - 2 - 3 z = 4 + 2
х = 9 у = - 5 z = 6
Доказательство:
1) Для треугольников ACH и ABC угол A — общий. Следовательно, ∆ACH ∼∆ABC (по острому углу).
Аналогично, для треугольников CBH и ABC угол B — общий. Следовательно, ∆CBH∼∆ABC.
2) Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90º, в треугольнике ABC ∠B=90º-∠A, в треугольнике CHB ∠BCH=90º-∠B=90º-(90º-∠A)=∠A.
Таким образом, в треугольниках ACH и CBH ∠CAH=∠BCH. А значит, ∆ACH ∼∆CBH (по острому углу).
Что и требовалось доказать.