cosB = (24(sinA)^2 + 1247 / 96) / 18 = (455+1247) / (96*18) = 1702 / (96*18) = 851 / 864 ---в этом случае угол В не будет наибольшим... (угол С будет больше)
Точки А и О - вершины прямых углов САК и СОК, т.к. вписанные углы САК и СОК опираются на диаметр. Следовательно, в треугольнике CNK отрезки СО и КА - высоты, т.к. перпендикулярны его сторонам CN и KN. Точка Т - пересечение высот. Высоты треугольника пересекаются в одной точке. В данном случае точка Т и есть точка пересечения высот. Отрезок, проведенный из вершины треугольника через точку пересечения высот, проведенных из двух других вершин, является высотой. ⇒ прямая NT пересекает прямую СК под углом 90º.
Опустим из В высоту на АС. В прямоугольном тр-ке ВСН отношение катета НС к гипотенузе ВС=3:5. ⇒ тр-к ВНС - египетский, и НС:ВН:ВС=3:4:5. ( можно проверить т.Пифагора) Расстояние от точки до прямой измеряется длиной перпендикулярного к ней отрезка. Так как расстояние от М до сторон АD и АС одинаково, то по свойству биссектрисы угла точка М лежит на биссектрисе угла DАС и является центром вписанной в этот угол окружности с радиусом МТ=МЕ=9. Нарисуем эту окружность. Проведем радиус МР как продолжение перпендикуляра из М к DС. Проведем через Р касательную ОК. ОК||МТ⇒ OK|| DC, треугольник АОК - прямоугольный и подобен треугольнику АDС. В то же время тр-к АDС подобен треугольнику ВНС - оба прямоугольные с общим углом С. ⇒ Треугольник АОК - подобен тр-ку ВНС и ОК:АО:АК=3:4:5 Пусть коэффициент этого отношения будет х. Тогда ОК=3х, АО=4х, АК=5х ОР=ТМ=ТО=МР=R=9 Формула радиуса вписанной в прямоугольный треугольник окружности r=(а+b-c):2 , где a и b- катеты, с - гипотенуза. 18=3х+4х-5х ⇒ х=9 АО=4*9=36 В треугольнике АОК отрезок ДО=ТО-ТД=9-3=6 АD=36-6=30
по т.косинусов
cosB = (16+9 - AC^2) / 24
по т.синусов
AC = 3sinB / sinA
24cosB = 25 - (9(sinB)^2) / (sinA)^2 = 25 - 9(1-(cosB)^2) / (sinA)^2
24cosB*(sinA)^2 = 25(sinA)^2 - 9 + 9(cosB)^2
9(cosB)^2 - 24(sinA)^2 * cosB + (25(sinA)^2 - 9) = 0 ---кв.трехчлен относительно cosB
D = 24*24*(sinA)^4 - 4*9*(25(sinA)^2 - 9) = 24*24*(sinA)^4 - 36*25(sinA)^2 + 81*4 =
24*24*455*455 / (48^4) - 36*25*455 / (48^2) + 324 =
(455*455 - 36*25*455*4) / (48^2 * 4) +324 = (455(455 - 3600) + 324*4*48*48) / (48^2 * 4) =
(324*4*48*48 - 455*3145) / (48^2 * 4) = (1247 / 96)^2
cosB = (24(sinA)^2 + 1247 / 96) / 18 = (455+1247) / (96*18) = 1702 / (96*18) = 851 / 864 ---в этом случае угол В не будет наибольшим... (угол С будет больше)
cosB = (24(sinA)^2 - 1247 / 96) / 18 = (455-1247) / (96*18) = -792 / (96*18) = -396 / 864 = -11/24