На стороне АС треугольника АВС отмечена т.К так, что АК:КС = 2:6. Через точку К провели прямую, которая параллельна стороне ВС и пересекает сторону АВ в точке Е. Найдите сторону ЕК, если ВС=32 см.
Треугольники AOD и COB подобны. Далее, очень легко построить треугольник, подобный этим треугольникам, площадь которого равна площади трапеции. Из точки C проводится прямая CE II BD до пересечения с продолжением AD в точке E. Треугольник ACE имеет ту же высоту, что и трапеция (собственно, у них общая высота - расстояние от точки C до AD). Поскольку DBCE - параллелограмм, то AE = AD + DE = AD + BC; То есть площадь треугольника ACE равна площади S трапеции ABCD; Треугольник ACE подобен AOD и COB по построению (у них, к примеру, равны все углы). Площади подобных треугольников пропорциональны квадратам соответственных сторон. То есть СУЩЕСТВУЕТ такое число k, что AD = k*√25; BC = k*√16; AD + BC = k*√S; Отсюда √S = √25 + √16 = 9; S = 81;
Точка пересечения диагоналей параллелограмма делит их пополам. Значит половина данной нам диагонали равна 9√6/4. Проведем перпендикуляр из точки пересечения диагоналей к основанию. Получили два прямоугольных треугольника, в одном из которых находим величину катета - перпендикуляра к основанию, который равен половине данной нам диагонали (9√6/4), умноженной на sin60° = √3/2, то есть 27√2/8. Второй прямоугольный треугольник равносторонний, с катетами, равными 27√2/8. По Пифагору находим гипотенузу: √(2*(27√2/8)²) = 27/4. Но это - половина искомой диагонали. Значит искомая диагональ равна 27/2 =13,5.
Далее, очень легко построить треугольник, подобный этим треугольникам, площадь которого равна площади трапеции.
Из точки C проводится прямая CE II BD до пересечения с продолжением AD в точке E.
Треугольник ACE имеет ту же высоту, что и трапеция (собственно, у них общая высота - расстояние от точки C до AD).
Поскольку DBCE - параллелограмм, то AE = AD + DE = AD + BC;
То есть площадь треугольника ACE равна площади S трапеции ABCD;
Треугольник ACE подобен AOD и COB по построению (у них, к примеру, равны все углы).
Площади подобных треугольников пропорциональны квадратам соответственных сторон.
То есть СУЩЕСТВУЕТ такое число k, что
AD = k*√25; BC = k*√16; AD + BC = k*√S;
Отсюда √S = √25 + √16 = 9; S = 81;