Question

Восновании пирамиды лежит треугольник со сторонами 3√3, 11 и углом в 30° между ними. все боковые ребра =8. найти объем пирамиды

Answer 1

Объем пирамиды вычисляется по формуле

$V=\frac{1}{3}S_{osnovani}*h\quad(**)$

В данном случае площадь основания пирамиды вычислить легко по формуле площади треугольника

$S_{osnovani}=\frac{1}{2}*3\sqrt{3}*11*\sin 30^\circ$

$S_{osnovani}=\frac{3\sqrt{3}*11}{4}$

Теперь надо найти высоту пирамиды. Сделать это непросто. Так как нужно узнать: где находится основание высоты пирамиды.

Пусть SO - высота пирамиды. АВС - треугольник в основании пирамиды. Рассмотрим 3 треугольника SOA, SOB, SOC. Все эти треугольники прямоугольные. Так как SO перпендикулярно плоскости основания, а значит перпендикулярно любой прямой в плоскости основания. Далее, SO - общий катет этих прямоугольных треугольников. SA=SB=SC=8 - по условию задачи. Значит эти треугольники равны по катету и гипотенузе. Поэтому другие катеты равны тоже между собой OA=OB=OC. Точка О - является центром описанной окружности. Так как расстояние от точки до любой вершины треугольника АВС одно и то же. Найти радиус описанной окружности можно по разным формулам. Можно воспользоваться следующей формулой

$R=\frac{abc}{4S}\quad(*)$

Здесь a, b, и c - стороны треугольника АВС.

Две стороны нам известны. Надо найти третью сторону треугольника АВС.

Найдем ее по теореме косинусов

$c^2=a^2+b^2-2*a*b*\sin 30^\circ$

$c^2=11^2+(3\sqrt{3})^2-2*11*3\sqrt{3}*\cos 30^\circ$

$c^2=121+27-2*11*3\sqrt{3}*\frac{\sqrt{3}}{2}$

$c^2=121+27-11*3\sqrt{3}*\sqrt{3}$

$c^2=121+27-11*3*3$

$c^2=121+27-99$

$c^2=22+27$

$c^2=49$

$c^2=7^2$

c=7

Значит третья сторона треугольника равна 7.

Подставляем в формулу (*)

$R=\frac{3\sqrt{3}*11*7}{4\frac{33\sqrt{3}}{4}}$

$R=\frac{3\sqrt{3}*11*7}{33\sqrt{3}}$

$R=\frac{3*11*7}{33}$

$R=7$

Нашли катет прямоугольного треугольника, образованного высотой пирамиды, боковым ребром и стороной, лежащей в основании пирамиды.

Теперь нам известны гипотенуза прямоугольного треугольника (это боковое ребро пирамиды 8), катет (это радиус описанной окружности треугольника АВС, 7). Осталось найти другой катет (высоту пирамиды). По теореме Пифагора

$h^2=8^2-7^2$

$h^2=64-49$

$h^2=15$

$h=\sqrt{15}$

Подставим известные значения в формулу (**)

$V=\frac{1}{3}*\frac{33\sqrt{3}}{4}*\sqrt{15}$

$V=\frac{11\sqrt{3}}{4}*\sqrt{15}$

$V=\frac{11\sqrt{3}\sqrt{3}\sqrt{5}}{4}$

$V=\frac{33\sqrt{5}}{4}$

$V=\frac{33\sqrt{5}}{4}$