В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1, у которого AA1 = 4, A1D1 = 6, C1D1 = 6, найдите тангенс угла между плоскостью ADD1 и прямой EF, проходящей через середины ребер AB и B1C1. Решить задачу с векторов.
Проведем высоту на нижнее основание из каждого тупого угла трапеции. Образуется прямоугольник и два прилегающих к нему прямоугольных треугольника. Теперь большее нижнее основание разделено на на три отрезка, два из которых равны как стороны равных прямоугольных треугольников, а третий отрезок равен 10 см как противолежащие стороны прямоугольника. Обозначим меньший отрезок Х, тогда длина нижнего основания 2Х + 10 = 16, откуда Х = 3 см.
Рассмотрим прямоугольный треугольник. У него гипотенуза равна 6 см из условия как боковая сторона трапеции, сторона, прилежащая к острому углу трапеции, равна 3 см (как мы только что нашли). Ищем косинус острого угла (прилежащая сторона / гипотенуза), т.е. 3 / 6 = 1 / 2
Косинус острого угла равен 1/2, cos 60 = 1/2. Т.е. острый угол равен 60 градусов.
Пусть стороны основания призмы - a,b,c, а высота - h. Тогда для площадей граней будут верны следующие выражения: ah=10 bh=17 ch=9 А вот для площади основания придётся вспоминать формулу Герона: S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)), где p - полупериметр Итак, мы можем выразить высотку призмы как: h = 10/a = 17/b = 9/c И отсюда: b = 17a/10 c = 9a/10 Переходим к формуле Герона. Полупериметр: p = (a+b+c)/2 = (a + 17a/10 + 9a/10)/2 = a/2 + 17a/20 + 9a/20 = (10a+17a+9a)/20 = 36a/20 = 9a/5 Теперь выписываем площадь (помним, что она дана!): 4 = √(p(p-a)(p-b)(p-c)) = √(9a/5*(9a/5-a)(9a/5-17a/10)(9a/5-9a/10)) = √(9a/5*((9a-5a)/5)((18a-17a)/10)((18a-9a)/10)) = √(9a/5*(4a/5)(a/10)(9a/10)) = √(324a^4/2500) = 18a²/50 Отсюда: 18a² = 4*50 a² = 4*50/18 = 200/18 = 100/9 a = √(100/9) = 10/3 Вспоминаем, что ah = 10. Отсюда: h = 10/a = 10/(10/3) = 3 И теперь объём призмы - площадь основания умножить на высоту: V = S*h = 4*3 = 12 см³
Рассмотрим прямоугольный треугольник. У него гипотенуза равна 6 см из условия как боковая сторона трапеции, сторона, прилежащая к острому углу трапеции, равна 3 см (как мы только что нашли). Ищем косинус острого угла (прилежащая сторона / гипотенуза), т.е. 3 / 6 = 1 / 2
Косинус острого угла равен 1/2, cos 60 = 1/2. Т.е. острый угол равен 60 градусов.