Задача имеет решение только если АВСD – четырехугольник, вписанный в окружность. (см. рисунки вложения)
В противном случае величину углов АDC и DCB вычислить невозможно, они могут принимать различное значения, лишь бы их сумма была равна разности между суммой углов четырехугольника и суммой углов АВС и BAD, т.е. 204°
-----------
Четырехугольник можно вписать в окружность, если сумма его противолежащих углов равна 180º.
Тогда ∠ADC=180°-∠ABC=180°-96=84°
∠BCD=180°-∠BAD=180°-60°=120°⇒
∠BCD-∠ADC=120°-84°=36°.
Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются. Обозначается это так: .
Рис. 1
Отрезки AB и CD, лежащие на параллельных прямых, называются параллельными.
Лучи, лежащие на параллельных прямых, также называются параллельными.
Задумаемся, неужели а и b нигде не пересекутся? И существуют ли такие прямые? Ведь а и b не ограничены. И в соседней комнате не пересекутся? И на луне?
Оказывается, такие прямые существуют.
Мы доказывали, что перпендикулярная прямая а к прямой с и перпендикулярная прямая b к прямой с нигде не пересекаются (Рис. 2).
Рис. 2
То есть две перпендикулярные прямые к одной и той же третьей прямой нигде не пересекутся. Оказывается, для этих прямых есть термин.
.
2. Накрест лежащие углы, односторонние и соответственные углыРассмотрим важную геометрическую конструкцию, в которой две прямые а и bрассекаются прямой с (Рис. 3).
Рис. 3
с – секущая а и b. Это означает, что она пересекает и а, и b.
Возникает много углов (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8).
Эти углыназываются:
- накрест лежащие углы: , ;
- односторонние углы: , ;
- соответственные углы: , , , .
– смежные углы.
– вертикальные углы.
3. Признаки параллельности прямыxСформулируем и докажем первый признак параллельности прямых.
Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
Итак, даны две прямые а и b. Прямая АВ рассекает эти прямые и (Рис. 4).
Рис. 4
Докажем, что .
Доказательство:
Рис. 5
Возьмем середину отрезка АВ – точку О – и опустим перпендикуляр ОН на прямую а. Получим точку Н. Получим отрезок АН. Отложим от точки В по прямой b отрезок, равный длине отрезка АН. Получим точку , причем .
Имеем два треугольника и . Эти треугольники равны по первому признаку (то есть по двум сторонам и углу между ними): (по условию), (по построению), ОА = ОВ (по построению).
Из равенства треугольников следует, что . А значит – это продолжение ОН, то есть точки О, Н и лежат на одной прямой.
Также . Значит, прямая Н перпендикулярна к прямой b.
Итак, мы имеем, что , . А значит, , что и требовалось доказать.
Второй признак параллельности прямых
Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.
Имеем: а, b, с – прямые; с – секущая,.
Рис. 6
Доказательство:
Значит, .
Применим первый признак параллельности прямых и получим, что .
Третий признак параллельности прямых
Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.
Имеем: а, b, с – прямые; с – секущая, (Рис. 7).
Рис. 7
Доказательство:
Значит, .
Применим первый признак параллельности прямых и получим, что .
4. Решение задачПризнаки параллельности прямых используются для решения разных задач.
Рассмотрим пример:
а, b, с – прямые; с – секущая,, (Рис. 8)
Рис. 8
Сведем к одному из признаков параллельности прямых.
Следовательно,. По третьему признаку параллельности прямых.
На этом уроке мы рассмотрели понятие параллельных и прямых и разобрали признаки параллельности прямых, научились их применять. На следующем занятии мы разберем свойства параллельных прямых.
Список рекомендованной литературы
1. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. и др. Геометрия 7. – М.: Просвещение.
2. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 7. 5 изд. – М.: Просвещение.
3. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, под ред. Садовничего В.А. – М.: Просвещение, 2010.
КР- диаметр, и потому равен 5 см.
КР- средняя линия треугольника АВС, отсюда АВ=5*2=10 см
Треугольник КСР прямоугольный, т.к. угол КСР опирается на диаметр, он в то же время - египетский, т.к. гипотенуза в нем равна 5 см, следовательно, отношение сторон в нем 3:4:5.
Отсюда и тр-к АВС - египетский, отношение сторон в нем 3:4:5
Катет ВС=3*2=6 см
АС=4*2=8 см
Периметр
10+8+6=24 см
Площадь
8*6*=:2=24 см²