Прямые, соединяющие центр вписанной окружности с концами боковой стороны - это биссектрисы внутренних односторонних углов при параллельных основаниях и секущей боковой стороне. Сумма таких углов 180 градусов, сумма половин - 90 градусов, то есть эти прямые перпендикулярны. Поэтому радиус, проведенный в точку касания этой боковой стороны, является высотой к гипотенузе в прямоугольном треугольнике. Если меньший отрезок (на который точка касания делит гипотенузу-боковую сторону) принять за х, а больший за 4*х, то высота - среднее геометрическое этих отрезков.
Действительно, высота делит прямоугольный треугольник на два подобных между собой прямоугольных треугольника - и подобных исходному, конечно - по признаку равенства углов, поэтому
4*х/12 = 12/x;
(4*х)*х = 12^2 = 144; x^2 = 36; x = 6
Боковая сторона равна 30, а периметр 120
(сумма боковых сторон равна сумме оснований)
№4Точка С1 симметрична точке С относительно D. Точка М1 (само собой) симметрична точке М относительно AD.
Угол АС1D равен вписанному углу MM1A, опирающемуся на дугу АМ, а дуга АМ равна дуге АМ1. Поэтому угол М1РА равен углу АС1D (или просто углу С треугольника АВC), и треугольники АМ1Р и АС1В подобны (у них все углы равны)
Отсюда AP/AM1 = AC1/AB;
8/6 = x/9;
x = 12;