1) отрезки, на которые биссектриса делит боковую сторону, равны 8*x и a*x, где а - неизвестное основание, x тоже неизвестен. Зато известно вот что: a/2 = 8/(8*x); a/2 = 1/x; 8*x + a*x = 8; 1/x = 1 + a/8; Отсюда a/2 = 1 + a/8; a = 8/3; высота h треугольника находится так h^2 = 8^2 - (a/2)^2; h = (4/3)*√35; Площадь S = (1/2)*(8/3)*(4/3)*√35 = (16/9)*√35; 2) В равнобедренной трапеции проекция диагонали на большее основание равна средней линии (а второй отрезок, на который высота из вершины меньшего основания делит большее, то есть - проекция боковой стороны на основание - равен полуразности оснований, докажите самостоятельно, это элементарно). Поэтому высота, средняя линяя и диагональ образуют прямоугольный треугольник, произведение катетов которого рано 48, а сумма квадратов равна 10^2; m^2 + h^2 = 10^2; m*h = 48; Отсюда (m + h)^2 = 196; (m - h)^2 = 4; Если m > h, то m + h = 14; m - h = 2; h = 6; m = 8; Если m > h, то m + h = 14; h - m = 2; h = 8; m = 6; то есть - два решения h = 6 или 8; ответ можно было бы увидеть сразу, поскольку "египетский" треугольник 6,8,10 удовлетворяет условию.
Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны. Пусть х - коэффициент пропорциональности. Тогда отрезки сторон треугольника равны 5х и 8х соответственно (см. на рисунке). Воспользуемся двумя формулами площади треугольника: S = pr, где р - полупериметр, r - радиус вписанной окружности, S = √(p·(p - a)(p - b)(p - c)) - формулой Герона. √(p·(p - a)(p - b)(p - c)) = pr
Пусть а и b - боковые стороны, с - основание. а = b = 13х, с = 10х. р = (13x + 13x + 10x)/2 = 18x Получаем уравнение: √(18x · 5x · 5x · 8x) = 18x · 10 5x · 3 · 4x = 180x 60x² - 180x = 0 x(x - 3) = 0 x = 3 (х = 0 не подходит по смыслу задачи) с = 10х = 30 см
a/2 = 8/(8*x); a/2 = 1/x;
8*x + a*x = 8; 1/x = 1 + a/8;
Отсюда a/2 = 1 + a/8; a = 8/3; высота h треугольника находится так
h^2 = 8^2 - (a/2)^2; h = (4/3)*√35; Площадь S = (1/2)*(8/3)*(4/3)*√35 = (16/9)*√35;
2) В равнобедренной трапеции проекция диагонали на большее основание равна средней линии (а второй отрезок, на который высота из вершины меньшего основания делит большее, то есть - проекция боковой стороны на основание - равен полуразности оснований, докажите самостоятельно, это элементарно).
Поэтому высота, средняя линяя и диагональ образуют прямоугольный треугольник, произведение катетов которого рано 48, а сумма квадратов равна 10^2;
m^2 + h^2 = 10^2;
m*h = 48;
Отсюда
(m + h)^2 = 196;
(m - h)^2 = 4;
Если m > h, то m + h = 14; m - h = 2; h = 6; m = 8;
Если m > h, то m + h = 14; h - m = 2; h = 8; m = 6;
то есть - два решения h = 6 или 8;
ответ можно было бы увидеть сразу, поскольку "египетский" треугольник 6,8,10 удовлетворяет условию.