Пусть треугольники не равны. Отсюда следует, что одновременно. Иначе треугольники были бы равны по первому признаку.
Пусть Δ A1B1C2 – треугольник, равный Δ ABC, у которого вершина C2 лежит в одной полуплоскости с вершиной C1 относительно прямой A1B1. По предположению вершины C1 и C2 не совпадают. Пусть D – середина отрезка C1C2. Треугольники A1C1C2 и B1C1C2 – равнобедренные с общим основанием C1C2. Поэтому их медианы A1Dи B1D являются высотами. Значит, прямые A1D и B1D перпендикулярны прямой C1C2. A1D и B1D имеют разные точки A1 и B1, следовательно, не совпадают. Но через точкуD прямой C1C2 можно провести только одну перпендикулярную ей прямую. Мы пришли к противоречию. Теорема доказана.
1) 139/160;
2) ≈ 30°.
Объяснение:
1) Для определённости будем считать, что а = 5 см, b = 8 см, с = 10 см.
По теореме меньший угол треугольника лежит напротив меньшей стороны а = 5 см.
По следствию из теоремы косинусов
cosA = (b² + c² - a²)/(2bc)
cosA = (8² + 10² - 5²)/(2•8•10) = 139/160.
2) Точное значение угла А равно arccos (139/160).
Приближённое значение находим, пользуясь таблицами:
∠ А ≈ 29,69° ≈ 30°.