Впрямоугольном треугольнике авс (угол с=90) угол а=30, ав=4корня из 3. найдите радиус окружности с центром в точке а, касающейся окружности, проходящей через вершины в, с и середину гипотенузы.
М - середина АВ, О - центр окружности, К - точка пересечения ВО и АС. Поскольку ВК - диаметр окружности, а угол С - прямой, точка К лежит на окружности. Стороны АВС легко вычислить, поскольку угол А = 30°. ВС = AC/2 = 2√3; AC = 4√3*(√3/2) = 6; Так же MB = MC = AC/2 = 2√3; Ясно, что ВМС - равносторонний треугольник. O - центр его описанной окружности. Поэтому ВО - биссектриса угла В. При этом точка К (в которой пересекаются окружность, катет АС и биссектриса ВО) делит сторону АС в отношении АК/KC = AB/BC = 2; поэтому АК = 4, КС = 2; Так же легко сосчитать радиус окружности КО = 2; (занятно, что проще всего В ЭТОЙ ЗАДАЧЕ это увидеть, если заметить, что КОС - тоже равносторонний треугольник. Хотя R = a/√3 в любом равностороннем треугольнике...). Осталось увидеть, что угол ОКА = 120°; - внешний угол треугольнику ВКС, он равен угол AСB + угол KBC = 90° + 30°; По теореме косинусов для треугольник АОК AO^2 = 4^2 + 2^2 + 4*2 = 28; AO = 2√7; Если есть две касающиеся окружности - одна радиуса 2 с центром в О, другая - радиусом R с центром в А, то АО = R + 2; отсюда R = 2√7 - 2;
Правильный тетраэдр - правильный многогранник (пирамида), все грани которого правильные треугольники a - длина ребра тетраэдра Н=? пусть MABC правильный тетраэдр. МО=Н - высота тетраэдра О - точка пересечения медиан, высот, биссектрис правильного треугольника (основания пирамиды), которые в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины высота правильного треугольника вычисляется по формуле: OA=2√6 прямоугольный ΔМОА: Гипотенуза МА=6√2 см катет АО=2√6 см катет МО=Н, найти по теореме Пифагора: МО²=(6√2)²-(2√6)², МО²=√48. МО=4√3 см. Н=4√3 см
Правильный тетраэдр - правильный многогранник (пирамида), все грани которого правильные треугольники a - длина ребра тетраэдра Н=? пусть MABC правильный тетраэдр. МО=Н - высота тетраэдра О - точка пересечения медиан, высот, биссектрис правильного треугольника (основания пирамиды), которые в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины высота правильного треугольника вычисляется по формуле: OA=2√6 прямоугольный ΔМОА: Гипотенуза МА=6√2 см катет АО=2√6 см катет МО=Н, найти по теореме Пифагора: МО²=(6√2)²-(2√6)², МО²=√48. МО=4√3 см. Н=4√3 см
Стороны АВС легко вычислить, поскольку угол А = 30°.
ВС = AC/2 = 2√3; AC = 4√3*(√3/2) = 6;
Так же MB = MC = AC/2 = 2√3;
Ясно, что ВМС - равносторонний треугольник. O - центр его описанной окружности. Поэтому ВО - биссектриса угла В. При этом точка К (в которой пересекаются окружность, катет АС и биссектриса ВО) делит сторону АС в отношении АК/KC = AB/BC = 2; поэтому АК = 4, КС = 2;
Так же легко сосчитать радиус окружности КО = 2; (занятно, что проще всего В ЭТОЙ ЗАДАЧЕ это увидеть, если заметить, что КОС - тоже равносторонний треугольник. Хотя R = a/√3 в любом равностороннем треугольнике...).
Осталось увидеть, что угол ОКА = 120°; - внешний угол треугольнику ВКС, он равен угол AСB + угол KBC = 90° + 30°;
По теореме косинусов для треугольник АОК
AO^2 = 4^2 + 2^2 + 4*2 = 28; AO = 2√7;
Если есть две касающиеся окружности - одна радиуса 2 с центром в О, другая - радиусом R с центром в А, то АО = R + 2; отсюда R = 2√7 - 2;