Question

Точки E, F, M и K — середины соответственно ребер AB, AD, CD і BC тетраэдра DABC, AC = 12 см, BD = 16 см, FK = 2√13 см.
Найти угол между прямыми AC і BD.

Answer 1

Для решения данной задачи воспользуемся знаниями о серединах отрезков и связанных с ними свойствах. Шаг 1: Найдем длины отрезков AE, AF, BM и CK. По определению, точка E - середина отрезка AB, поэтому AE = AB / 2. Также, точка F - середина отрезка AD, поэтому AF = AD / 2. Аналогично, BM = BC / 2 и CK = CD / 2. Длины отрезков AB, AD, BC и CD нам не даны, но мы знаем, что E, F, M и K - середины соответствующих отрезков. Это означает, что AE = EM = MB, AF = FM = MD, BM = MK и CK = KM. Дальше мы можем использовать эту информацию, чтобы выразить длины отрезков через известные значения: AE = EM = MB = AB / 2 = (AC + CB) / 2, AF = FM = MD = AD / 2 = (AC + CD) / 2, BM = MK = BC / 2 = (BC + CD) / 2, CK = KM = CD / 2. Шаг 2: Найдем длину отрезка AK. Заметим, что отрезок AK является гипотенузой прямоугольного треугольника AMK. Мы знаем длины его катетов: AM = AE + EM и MK = CK + KM. Значит, можем их выразить через известные значения: AM = AE + EM = (AC + CB) / 2 + (BC + CD) / 2, MK = CK + KM = BC / 2 + CD / 2. Шаг 3: Найдем длину отрезка AK, воспользовавшись теоремой Пифагора: AK^2 = AM^2 + MK^2. Зная AM и MK из предыдущего шага, можем выразить AK. Имеем: AK^2 = ((AC + CB) / 2 + (BC + CD) / 2)^2 + (BC / 2 + CD / 2)^2. Шаг 4: Найдем величину косинуса угла между прямыми AC и BD. Используя формулу для косинуса угла между двумя векторами, cos(θ) = (AC · BD) / (|AC| · |BD|), где AC · BD - скалярное произведение векторов AC и BD, |AC| и |BD| - длины векторов AC и BD. Для нахождения скалярного произведения и длин векторов нам понадобится найти их компоненты. Шаг 5: Определим координаты векторов AC и BD. Зафиксируем точку A в начале координат (0, 0, 0) и рассмотрим остальные точки относительно нее: - AC имеет координаты (12, 0, 0), так как AC = 12; - BD имеет координаты (0, 0, 16), так как BD = 16. Шаг 6: Вычислим скалярное произведение векторов AC и BD. AC · BD = (12 * 0) + (0 * 0) + (0 * 16) = 0. Шаг 7: Вычислим длины векторов AC и BD. |AC| = sqrt((12^2) + (0^2) + (0^2)) = sqrt(144) = 12, |BD| = sqrt((0^2) + (0^2) + (16^2)) = sqrt(256) = 16. Шаг 8: Найдем значение косинуса угла между прямыми AC и BD. cos(θ) = (AC · BD) / (|AC| · |BD|) = 0 / (12 * 16) = 0. Шаг 9: Найдем значение угла θ, применив функцию арккосинус. θ = arccos(0) = 90 градусов. Ответ: Угол между прямыми AC и BD равен 90 градусов.