В трапеции ABCD биссектриса угла BAD проходит через точку М, которая является серединой CD. Известно, что АВ=5, АМ=4. Найдите длину отрезка ВМ.
По условию СМ=CD.
Решить задачу можно разными
Проведем МК || AD - по т. Фалеса она делит АВ в отношении DM:MC т.е. на АК=КВ.
В ∆ АКМ ∠КМА= ∠МАD - как накрестлежащие.
∠МАD=∠МАК- как половины ∠КАD
∠КАМ=∠КМА⇒
∆ АКМ - равнобедренный, и АК=КМ.
Но КМ=АК=КВ ⇒ ∆ ВКМ равнобедренный, ⇒ ∠КВМ=∠КМВ.
Углу КМВ равен накрестлежащий ∠ СВМ. ⇒ ВМ - биссектриса угла СВК.
В трапеции сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна 180º
Тогда сумма их половин равна 90º, и угол ВМА=180º-90º=90º
∆ АВМ - прямоугольный. Отношение катета АМ к гипотенузе АВ 3:5⇒ ∆ АВМ - египетский, и ВМ=3 (ед. длины) ( по т.Пифагора получим ту же величину).
Доказав, что ∆ АКМ - равнобедренный, проведем в нем высоту КН. Она же - медиана, и АН=НМ.
Тогда КН - средняя линия ∆ АВМ, и КН || ВМ, откуда следует, что угол ВМА=90º, ∆ АВМ - египетский и ВМ=3 (ед. длины).
на любителей т. косинусов)
По т. косинусов можно из ∆ КАМ найти косинус угла КАМ, затем по ней той же теореме длину ВМ.
Вычисления приводить не буду - пользовалась при нахождении косинуса инженерным калькулятором. Без него значения будут лишь приближенными. Таким образом найден
cos ∠КАМ=0,8.
Тогда ВМ²=5²+4²-2•5•4•0,8 ⇒
BM²=25+16-32=9
BM=3 (ед. длины)
1. х-одна сторона, тогда 3х - вторая сторона
75=3х*х
75=3*х^2
х^2=25
x=5
ответ : 5 см, 15 см
2. треугольник равнобедренный. значит можно этот треугольник рассмотреть как 2 прямоугольных. треугольник равнобедренный( гипотенуза 5, один из катетов равен 3) тогда по т. Пифагора высота равна 4.
остальные высоты можно найти через площадь. площадь равна 1/2*4*6=12
1/2*h1*5=12, h1 = 4,8. вторая высота такая же т.к. сторона, к которой проведена высота, такая же.
ответ : 4 см, 4,8см, 4,8 см
3. 8/а=5/в=7/с=1/4
8\а=1/4
а=32
5/в=1/4
в=20
7/с=1/4
с=28
Р=32+20+28=80
площадь находим через формулу Герона
S= sqrt {40*8*20*12}=sqrt{76800}=10*2*2*2*2sqrt{3}=160sqrt{3}
ответ : 80 см, 160sqrt{3} см
4.площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле S = (a*b)/2.
a, b - соответственно катеты.
a/b=7/12 по условию задачи.
выражаем b через a: b=(a*12)/7.
Подставляем в формулу для площади:
S=(a*a*12)/7
168=(a*a*12)/7
a*a=168*7/6=196
a=14.
b=14*12/7=24.
ответ: 14 и 24
5. Пусть
a-верхнее основание
b-нижнее
h-высота
135-90= 45 градусов
треуг CDH -равнобедренный тк угол CHD-прямой
то BC=HD=6
то AD=AH+HD=6+6=12
S=(a+b)/2*h
S=(6+12)/2*6=54
ответ : 54
7.
сумма противоположных сторон описанного четырехугольника равны
АВСД -четырехугольник
АВ+СД=ВС+АД=12
r -радиус вписанной окр. с центром т.О
Sаод=0,5*r*АД
Sаов=0,5*r*АВ
Sвос=0,5*r*ВС
Sсод=0,5*r*СД
Sавсд=Sаод+Sаов+Sвос+Sсод=0,5*r(АД+АВ+ВС+СД)=0,5*5(12+12)=60
ответ : 60
8.
Сначала нужно доказать что треугольники подобны..
Угол C общ
угол B = углу A1B1C ( по фалесу) ,
значит треугольники подобны по двум углам.
21,5/9*7150,5/9=16 целых 6,5/9 см -A1C
18/9*7=14 см - В1С
10/9*7=70/9=7 целых 7/9 см А1В1
P= 16 целых 6,5/9 +14+ 7 целых 7/9=37 целых 13,5/9=38 целых 4,5/9=38,5
ответ: 38,5 см
не знаю что найти нужно, предполагаю, что длину ребер.
Пусть
3x-1ребро
7x-2ребро
8x-2 ребро, тогда
S=2(3x*7x+3x*8x+7x*8x)=2(21x+24x+56x)=202x
x=> 808/202=4
1 ребро 3*4=12
2 ребро 4*7=28
3 ребро 8*4=32