Если радиус окружности R, расстояние до хорды r, длина хорды m, то
(m/2)^2 + r^2 = R^2;
Поскольку центр окружности совпадает с центром вписанной в треугольник окружности, расстояние до искомых хорд будет одинаковым - равным радиусу вписанной окружности. То есть r - это радиус вписанной окружности в треугольник со сторонами 13,14,15.
ПОЛУпериметр этого треугольника равен (13 + 14 + 15)/3 = 21;
Площадь треугольника легко считается по формуле Герона и равна 84.
Этот треугольник составлен из двух Пифагоровых треугольников - со сторонами (9,12,15) и (5,12,13), приставленных друг к другу катетами 12 так, что катеты 9 и 5 вместе образуют сторону 14. Поэтому высота к стороне 14 равна 12, а площадь 12*14/2 = 84.
r = S/p = 84/21 = 4;
откуда
m/2 = 3; (здесь тоже Пифагорова тройка 3,4,5, самая первая)
m = 6; (все хорды одинаковые, само собой)
Нарисуем треугольник. Обозначим его вершины А,В,С.
Из вершины В проведем к АС медиану, продолжим ее на ее же длину. Поставим точку В1.
Соеденим В1 с вершинами треугольника А и С.
Точка М - середина АС и ВМ, а АС и ВМ в то же время диагонали четырехугольника АВСВ1.
Если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник - параллелограмм.
Следовательно, АВ=СВ1 и ВС=АВ1.
Треугольники АВВ1 и ВСВ1 равны как половины параллелограмма.
ВС=АВ1
АВ+АВ1=АВ+ВС
ВВ1 -удвоенная медиана треугольника АВС = как третья сторона этих треугольников не может быть равна, и тем более больше, суммы сторон треугольника АВС.
Сумма двух сторон треугольника больше удвоенной медианы, проведеной из той же вершины, что и требовалось доказать.
где фото
Объяснение:
ОТПРАВ ФОТО