Во-первых, заметим, что раз касательная касается окружности в точке С, то радиус, проведённый из С будет перпендикулярен касательной. Соответственно, радиус имеет длину R.
Обозначим проекции точек А и В на касательную соответственно А1 и В1. Тогда в прямоугольной трапеции А А1 В1 В внезапно обнаружим, что ОС является средней линией, потому что ОА = R, и ОВ также равно R. Раз такое дело, то радиус R является средним арифметическим оснований трапеции. Допустим, меньшее основание А А1 имеет длину х, тогда радиус R=2х, и большее основание В В1 = 3х.
Следовательно, продолжая гипотенузу АВ и касательную до пересечения (назовём точку пересечения буквой М) увидим, что АМ=R.
Далее применим теорему о секущей, которая скажет, что МС^2 = МА * МВ = R * 3R = 3*R^2. Отсюда МС = R * корень(3), то есть отношение МС/R = корень(3). По ходу, полученное отношение является тангенсом угла МОС, ибо угол МСО прямой. А тангенс какого угла равен корню(3) ? -- это угол 60 градусов, как нам известно из таблиц Брадиса.
Осталось последнее действие - заметить, что искомый угол В составляет половину от МОС, т.к.они опираются на одну и ту же дугу АС, но при этом АОС центральный, а В вписанный.
Решение удалось найти только для частного случая, когда четырёхугольник - это трапеция (а вписанная - только равнобедренная). Примем основания трапеции равными заданным длинам сторон АВ=10 СД=13. Высота трапеции равна: h = ((СД - АВ)/2)/tg15° = ((13 - 10)/2 )/(2-√3) = 1,5/0,267949 = 5.598076. Боковая сторона равна а = √(((13-10)/2)²+h²) = = √(1,5²+5.598076²) = √(2,25+31.33846) = √33.58846 = 5.795555. Диагональ трапеции равна d = √((13/2)+(10/2))²+h²) = = √(11,5²+5.598076²) = √ 163.5885 = 12.79017.
Радиус окружности, описанной около трапеции, равен радиусу окружности, описанной около треугольника со сторонами, равными нижнему основанию трапеции, её боковой стороне и диагонали. R = adc/(4√(p(p-a)(p-d)(p-c)). Полупериметр р = (a+d+c)/2 = 15,694123. Тогда радиус равен R = 6.6092285.
Во-первых, заметим, что раз касательная касается окружности в точке С, то радиус, проведённый из С будет перпендикулярен касательной. Соответственно, радиус имеет длину R.
Обозначим проекции точек А и В на касательную соответственно А1 и В1. Тогда в прямоугольной трапеции А А1 В1 В внезапно обнаружим, что ОС является средней линией, потому что ОА = R, и ОВ также равно R. Раз такое дело, то радиус R является средним арифметическим оснований трапеции. Допустим, меньшее основание А А1 имеет длину х, тогда радиус R=2х, и большее основание В В1 = 3х.
Следовательно, продолжая гипотенузу АВ и касательную до пересечения (назовём точку пересечения буквой М) увидим, что АМ=R.
Далее применим теорему о секущей, которая скажет, что МС^2 = МА * МВ = R * 3R = 3*R^2. Отсюда МС = R * корень(3), то есть отношение МС/R = корень(3). По ходу, полученное отношение является тангенсом угла МОС, ибо угол МСО прямой. А тангенс какого угла равен корню(3) ? -- это угол 60 градусов, как нам известно из таблиц Брадиса.
Осталось последнее действие - заметить, что искомый угол В составляет половину от МОС, т.к.они опираются на одну и ту же дугу АС, но при этом АОС центральный, а В вписанный.
Итого, ответ: угол АВС = 60 / 2 = 30 градусов.
Ну, у меня так получилось.Лучше проверь за мной.