Через сторону ав трикутника авс проведено площину ,яка утворює з площиною трикутника кут 45градусів.знайти відстань від вершини с до цієї площини , якщо ав = 14 см,вс = 13 см,ас = 15 см
Сначала решение, а потом немного пояснений :))) Расстояние от С до плоскости равно расстоянию от С до прямой АВ, умноженному на синус угла 45°, высота треугольника АВС, проведенная из вершины С, равна 12, поэтому ответ 6√2; Теперь пояснения :) 1. Отрезок, перпендикулярный плоскости СК (точка К - проекция точки С на плоскость), высота СН треугольника АВС и её проекция на плоскость КН образуют прямоугольный треугольник СКН в плоскости, перпендикулярной АВ (так как 2 прямые - СК и СН перпендикулярны АВ). Поэтому СК = СН*sin(Ф); где Ф - линейный угол двугранного угла между плоскостями, то есть 45°; 2. Чтобы найти СН - высоту треугольника АВС, можно сосчитать площадь АВС по формуле Герона (получится 84) и разделить на (14/2), получится 12. Однако есть найти СН, не прибегая к вычислениям. Дело в том, что треугольник со сторонами 13,14,15 "составлен" из двух Пифагоровых треугольников (прямоугольных треугольников с целыми длинами сторон) 9,12,15 и 5,12,13 так, что катет 12 у них "общий", а катеты 9 и 5 вместе образуют сторону 14. Что означает, что в треугольнике 13,14,15 высота к стороне 14 равна 12.
Пусть треугольник АВС равносторонний. Тогда площадь треугольникаSabc=(√3/4)*а².Формула медианы ВМ к стороне АС: Mb=(1/2)*√(2a²+2c²-b²).При АН=ВМ площадь треугольника равнаSabc=(1/2)*BM*BC или Sabc=(1/2)*(1/2)*√(2a²+2c²-b²)*а. ИлиSabc=(1/4)*а*√(2a²+2c²-b²).Мы видим, что только при a=b=c корень √(2a²+2c²-b²)=√(3a²)=а√3.Тогда Sabc=(√3/4)*а².Если треугольник не равносторонний, то по формуле Герона Sabc=(1/2)*√[((a+b+c)/2)*((b+c-a)/2)*((a+c-b)/2))*((a+b-c)/2)= =√[((a+c)²-b²)*((b²-(a-c)²]/4.Мы видим, что только при a=b=c корень √[((a+c)²-b²)*((b²-(a-c)²]=√(3a²)=а√3. И Sabc=(√3/4)*а².При всех других значениях сторон площадь треугольника АВС будет отличаться отS=(√3/4)*а².ответ: при данных условиях треугольник АВС должен быть равносторонним.
Естественно, что равные отрезки FM и FK отложены на сторонах FD и FE, которые равны по условию (других вариантов просто нет). Значит отрезок КМ параллелен отрезку DE. Следовательно, треугольник FMK подобен треугольнику FED, то есть является равнобедренным. Углы при основании равнобедренного треугольника равны: <FKM=<FMK. Значит равны и смежные с этими углами углы: <DKM=<ЕMК. Треугольники DKM и ЕМК равны по двум сторонам и углу между ними (ЕМ=KD, так как DF=EF и FM=FK, a MK - общая). В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, то есть <DMK=<EKM. Тогда и <DKE=<DME, как разность равных углов: <DKE=<DKM-<EKM и <DME=<EMK-<DMK. Что и требовалось доказать.
Расстояние от С до плоскости равно расстоянию от С до прямой АВ, умноженному на синус угла 45°, высота треугольника АВС, проведенная из вершины С, равна 12, поэтому ответ 6√2;
Теперь пояснения :)
1. Отрезок, перпендикулярный плоскости СК (точка К - проекция точки С на плоскость), высота СН треугольника АВС и её проекция на плоскость КН образуют прямоугольный треугольник СКН в плоскости, перпендикулярной АВ (так как 2 прямые - СК и СН перпендикулярны АВ). Поэтому СК = СН*sin(Ф); где Ф - линейный угол двугранного угла между плоскостями, то есть 45°;
2. Чтобы найти СН - высоту треугольника АВС, можно сосчитать площадь АВС по формуле Герона (получится 84) и разделить на (14/2), получится 12. Однако есть найти СН, не прибегая к вычислениям. Дело в том, что треугольник со сторонами 13,14,15 "составлен" из двух Пифагоровых треугольников (прямоугольных треугольников с целыми длинами сторон) 9,12,15 и 5,12,13 так, что катет 12 у них "общий", а катеты 9 и 5 вместе образуют сторону 14. Что означает, что в треугольнике 13,14,15 высота к стороне 14 равна 12.