4 и 4
Объяснение:
По свойству параллельных прямых и секущей сумма углов при одной стороне параллелограмма равна 180°. Следовательно, биссектрисы его соседних углов пересекаются под прямым углом. Поэтому четырехугольник, образованный четырьмя биссектрисами параллелограмма - прямоугольник. Обозначим его вершины К, L, M и N.
Биссектрисы параллелограмма, являясь секущими, отсекают от него равнобедренные треугольники ( они делят углы пополам, и накрестлежащие углы тоже равны). Противоположные стороны параллелограмма равны =>
АВ=BQ=AT=CD=CR=DS=8 Тогда ВR=12-CR=4. Аналогично длина отрезков QC,, DT,, AS равна 4.
Отрезки QR и TS равны 12-2•4=4.
По 1-му признаку равенства треугольников ∆ АВТ=∆ RCD и ∆ ABQ=∆ СDS ⇒ их стороны и углы, заключённые между ними, равны.
В равнобедренном треугольнике биссектриса=высота=медиана. ⇒ BL=LT=RN=ND
Биссектрисы противоположных углов параллелограмма параллельны: ВТ║RD, а BR║TD как лежащие на параллельных сторонах ABCD.
Из доказанного выше BL=RN. ⇒ BL=RN. ⇒
Четырехугольник BRNL – параллелограмм, ⇒LN=BR=4
LN - диагональ прямоугольника KLMN. Диагонали прямоугольника равны.
КМ=LN=4 (ед. длины)
неизвестная площадь NKM = s;
a - s = KL*KN*sin(α)/2;
b - s = KM*KP*sin(α)/2;
если это перемножить, то
(a - s)*(b - s) = KL*KN*KM*KP*(sin(α))^2/4 = a*b*(sin(α))^2;
(a - s)*(b - s) = a*b*(sin(α))^2;
осталось решить квадратное уравнение
s^2 - (a + b)*s + a*b*(cos(α))^2 = 0;
s = (a + b)/2 +- √((a + b)^2 - a*b*(cos(α))^2);
s = (a + b)/2 +- √(a^2 + b^2)/2 + a*b*(sin(α))^2);
Осталось понять, какой оставить знак.
s = (a + b)/2 - √(a^2 + b^2)/2 + a*b*(cos(φ))^2);
я нашел частный случай, очень легкий, и по нему можно понять, что остается именно "минус". Пусть α = π/6; и сам треугольник KLM имеет угол L = π/6; оба треугольника получаются одинаковые, и их пересечение имеет площадь a/2, то есть s = (a + b)/4