5. Дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом с. Биссектриса угла В пересекает катет АС в точке м. Известно, что AM = 6корень3см, а уголBAC = углуМВС. Найдите площадь треугольника ABC. [6]
Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, делит равнобедренный треугольник на два прямоугольных треугольника. И является биссектрисой угла при вершине. Пусть угол при основании х, тогда угол между высотой и боковой стороной равнобедренного треугольника равен (х-15°). Угол при вершине в два раза больше 2(х-15°)
Сумма углов треугольника равна 180° х+ х+2·(х-15°)=180° 4х=210° х=52,5° х-15°=52,5-15=37,5° Угол при вершине равнобедренного треугольника в 2 раза больше, так как высота равнобедренного треугольника является также и биссектрисой. ответ. углы при основании 52,5°; 52,5° и угол при вершине 75°
Обратим внимание на отношение сторон треугольника МКР. МК=5+10=15, и КР:МР:МК=3:4:5. Это отношение сторон египетского треугольника, т.е. треугольник МКР - прямоугольный. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. S МКР=МР*КР:2=54 В треугольниках МТР и КТР высоты из вершины Р равны, это высота всего треугольника МКР. Площади треугольников с равными высотами относятся как их основания. ⇒ Ѕ Δ МТР:Ѕ Δ МКР=5:15=1/3 Ѕ Δ МТР= 54*3=18 см² Ѕ Δ ТРК=54-18=36 см² ------------ Если не учитывать, что треугольник МКР прямоугольный, можно сначала найти его площадь по формуле Герона. Она будет равна 54 см. А дальше решение аналогично данному выше.
Объяснение:
∠BAC = ∠МВС (дано), значит по сумме острых углов прямоугольного треугольника АВС
∠А + 2·∠АВМ = 90°.
Тогда ∠АВМ = 30°, ∠А = 30° и ∠АВС = 60°.
Треугольник АМБ - равнобедренный с основанием АВ и по теореме косинусов
АВ² = АМ²+ВМ² - 2·АМ·ВМ·Cos(∠АМВ).
∠АМВ = 120° => Cos120 = Cos(180-60) = -Cos60.
Cos120 = -(1/2). Тогда АВ² = 216 + 108 = 324.
АВ = √324 = 18см, ВС = (1/2)АВ = 9 см.
Sabc = (1/2)·АВ·ВС·Sin(∠АВС) или
Sabc = (1/2)·18·9·(√3)/2 = (162√3)/4 = 40,5√3 cм².