У треугольников ABC и DEC стороны общего угла пропорциональны.
CE = CB*cos(C); CD = CA*cos(C);
поэтому эти треугольники подобны, и AB = ED/cos(C);
Поскольку ∠HEC = ∠HDC = 90°; то окружность, построенная на CH, как на диаметре, пройдет через точки D и E.
Поэтому CH - диаметр окружности, описанной вокруг треугольника DEC, и по теореме синусов ED = CH*sin(C);
Отсюда sin(C) = 12/13; => cos(C) = 5/13;
AB = 60*13/5 = 156;
Можно получить такую "обратную теорему Пифагора"
(1/ED)^2 = (1/AB)^2 + (1/CH)^2; :)
это соотношение решает задачку в общем виде, если в условии не скрыта Пифагорова тройка (как тут - 5,12,13)
а) по следствию из теоремы синусов:
a / sin∠A = 2R
sin∠A = a / (2R) = 5/8
По значению синуса угол однозначно определить нельзя, он может быть как острым так и тупым, значит треугольник задан неоднозначно.
б) S = 1/2 · ab·sin∠C
sin∠C = 2S/(ab) = 24 / 30 = 4/5
По значению синуса угол однозначно определить нельзя, он может быть как острым так и тупым, значит треугольник задан неоднозначно.
в) по теореме косинусов:
АС² = BC² + AB² - 2·BC·AB·cos∠ABC
169 = BC² + 64 - 16 · BC · (-1/2)
BC² + 8·BC - 105 = 0
D = 64 + 420 = 484 = 22²
BC = (- 8 + 22)/2 = 7 или BC = (- 8 - 22)/2 = - 15 - не подходит по смыслу задачи
Так как третья сторона находится однозначно, то и треугольник задан однозначно.
Пусть в многоугольник с числом сторон N вписана окружность. Конечно, это не любой многоугольник. Но единственное его особое свойство - существует точка, равноудаленная от всех его сторон.
Центр вписанной окружности соединяем с вершинами многоугольника. Теперь многоугольник разрезан на несколько (по числу сторон, для 80-угольника - на 80) треугольников с общей вершиной в центре окружности. В каждом из треугольников высота, проведенная из этой общей вершины - это радиус вписанной окружности r, проведенный в точку касания окружности и стороны. Поэтому площадь треугольника, содержащего сторону многоугольника номер n (обозначим её a(n), n принимает значения от 1 до N, это просто номер стороны :))), равна a(n)*r/2; Складываем площади всех таких треугольников, очевидно получаем для площади многоугольника
S = (a(1) + a(2) + + a(N))*r/2 = P*r/2; где Р = a(1) + a(2) + + a(N); - периметр N-угольника.
Поэтому, единственное ограничение на применение формулы S = (a(1) + a(2) + + a(N))*r/2 = P*r/2; состоит в том, что в N-угольник можно вписать окружность.