Question

Впрямоугольном треугольнике с катетами а и b найти биссектрису прямого угла. глупые варианты решения не предлагать.

Answer 1

Так как треугольник прямоугольный, то угол которая отсекает биссектриса от  прямого угла равна 45 градусам. Пусть L-это длина самой биссектрисы, x и y это отрезки которая биссектриса отсекает от гипотенузы   . 
$a^2+b^2=(x+y)^2\\ y^2=b^2+L^2-\sqrt{2}bL\\ \frac{a}{b}=\frac{x}{y}\\ \\ x=\frac{ay}{b}\\ a^2+b^2=(\frac{ay}{b}+y)^2\\ a^2+b^2=\frac{a^2y^2}{b^2}+\frac{2ay^2}{b}+y^2\\ a^2+b^2=\frac{a^2(b^2+L^2-\sqrt{2}bL)}{b^2}+\frac{2a(b^2+L^2-\sqrt{2}bL)}{b}+(b^2+L^2-\sqrt{2}bL)\\ b^2(a^2+b^2)=a^2(b^2+L^2-\sqrt{2}bL)+2ab(b^2+L^2-\sqrt{2}bL)+b^2(b^2+L^2-\sqrt{2}bL)\\ L^2(a+b)^2-L(\sqrt{2}a^2b+2\sqrt{2}ab^2+\sqrt{2}b^3)+2ab^3=0\\ kvadratnoe\ uravnenie\ otnositel'no\ L\\$

$L^2(a+b)^2-L(\sqrt{2}a^2b+2\sqrt{2}ab^2+\sqrt{2}b^3)+2ab^3=0\\ D=\sqrt{(\sqrt{2}a^2b+2\sqrt{2}ab^2+\sqrt{2}b^3)^2-4(a+b)^22ab^3}=\sqrt{2}b(b-a)(b+a)\\ L=\frac{\sqrt{2}ab}{a+b}$

P.S я использовал, теорему косинусов,    теорему    Пифагора ,  и   теорему о биссектрисе!