В треугольнике: катеты а и b, гипотенуза с, прямой угол С, R - радиус описанной окружности, r- радиус вписанной окружности. Начнём с описанной окружности. Поскольку угол С прямой, то этот угол опирается на диаметр окружности, т.е. диаметр окружности есть его гипотенуза, и. с = 2R Теперь вписанная окружность. Опустим из её центра на катеты перпендикуляры, эти перпендикуляры равны r- радиусу вписанной окружности. Два взаимно перпендикулярных радиуса r и отрезки катетов, прилежащих к вершине прямого угла С, образуют квадрат со стороной r. Тогда отрезки катетов, прилегающих к вершинам острых углов, равны (а - r) и (b - r). Третий перпендикуляр, опущенный из центра окружности на гипотенузу делит её на отрезки, равные (а - r) и (b - r). Получается, что гипотенуза равна c = a - r + b - r = a + b - 2r. Но ранее мы получили, что с = 2R Тогда 2R = a + b - 2r 2R + 2r = a + b R + r = 0.5(a + b) что и требовалось доказать.
ответ:100 см²
Объяснение: В четырехугольник можно вписать окружность ( или круг) тогда и только тогда. когда суммы противоположных сторон равны.
Трапеция АВСD - четырехугольник. ⇒
ВС+АD=АВ+AD=14+11=25 (см).
Высота трапеции равна диаметру вписанной окружности. ⇒ ВН=2r=2•4=8
Площадь трапеции равна произведению высоты и полусуммы оснований.
S=h•(a+b)/2=8•25/2=100 см².
----------------------
Как видим, для нахождения площади отношение оснований трапеции является лишним. Но для нахождения длин сторон пригодится.
Примем коэффициент отношения ВС:АD равным а.
Тогда ВС=2а, АD=3а.
ВС+АD=5a=25 (см. выше). ⇒ а=5. ⇒
ВС=2•5=10 см
АD=3•5=15 см.