Дано дві паралельні площини α і β. Точки А і В належать площині α, точки С і D - площині β. Відрізки АD і ВС перетинаються в точці О. Знайдіть довжину відрізка ВО, якщо АВ=12 см, СD=15 см, ВС=18 см.
Если по простому пересказать условие - то биссектрисы двух разных треугольников делят противолежащие стороны в равных отношениях. обозначим отношение, в котором биссектрисы делят стороны как z z = AE/EC = A1E1/E1C1
Но согласно теореме о биссектрисе противоположная сторона делится пропорционально прилежащим BA/AE = BC/EC AE = z*EC BA/(z*EC) = BC/EC BA/BC = z или ВА = z*BC (1) Т.е. сами прилежащие к углу В стороны в треугольнике АВС относятся как z Анатигично показывается, что и B₁A₁/B₁C₁ = z или В₁А₁ = z*B₁C₁ (2) Разделим выражение (2) на выражение (1) В₁А₁/ВА = z*B₁C₁/(z*BC) = B₁C₁/BC Т.е. треугольники подобны по второму признаку подобия - равный угол и пропорциональные две стороны.
Пусть данный треугольник - ABC, у которого угол B прямоугольный, а квадрат BDEF, точка D лежит на стороне AB, точка E лежит на стороне BC, а точка F на гипотенузе. Таков рисунок, в котором два треугольника ADE и CEF подобны треугольнику ABC( по двум углам), что значит если сторона квадрата x, то 5/12(отношение катетов)=CF/EF=5-x/x из этого уравнения находим x, и умножаем на 4, получаем ответ - 14 целых 2/17см. Есть второй вариант БЕЗ подобия, по теореме Пифагора вычисляем длину гипотенузы - 13см. Гипотенуза так же равна сумме отрезков AE и CE, которые можно тоже вычислить по теореме Пифагора.То есть получаем:.
.
обозначим отношение, в котором биссектрисы делят стороны как z
z = AE/EC = A1E1/E1C1
Но согласно теореме о биссектрисе противоположная сторона делится пропорционально прилежащим
BA/AE = BC/EC
AE = z*EC
BA/(z*EC) = BC/EC
BA/BC = z
или ВА = z*BC (1)
Т.е. сами прилежащие к углу В стороны в треугольнике АВС относятся как z
Анатигично показывается, что и
B₁A₁/B₁C₁ = z
или В₁А₁ = z*B₁C₁ (2)
Разделим выражение (2) на выражение (1)
В₁А₁/ВА = z*B₁C₁/(z*BC) = B₁C₁/BC
Т.е. треугольники подобны по второму признаку подобия - равный угол и пропорциональные две стороны.